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# 零空间 命题 令 AAA 为 mmm 行 nnn 列矩阵，则以 AAA 为系数的齐次线性方程组的解全体 N(A)={x∈Fn∣Ax=0}N(A) = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{F}^n \mid A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}\} N(A)={x∈Fn∣Ax=0} 成为 Fn\mathbb F^nFn 的一个子空间，称为 AAA 的 零空间 (Null Space)「零空間」，或者解空间 证明 0\boldsymbol 00...

线性空间是线性代数中最大的舞台，毫无疑问线性映射就是其中最重要的主角 # 线性映射 定义 令 V,WV, WV,W 分别为 F\mathbb FF 上的线性空间 称映射 f:V→Wf: V \to Wf:V→W 为从 VVV 到 WWW 的 线性映射 (Linear Map)「線形写像」，当且仅当对于任意 u,v∈V\boldsymbol u, \boldsymbol v \in Vu,v∈V 以及任意 k∈Fk \in \mathbb Fk∈F，均满足： ∀u,v∈V,f(u+v)=f(u)+f(v){}^\forall...

# 矩阵表示 让我们从一类线性映射出发 给定 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，定义映射 fA:Rn→Rm,fA(x)=Axf_A: \mathbb R^n \to \mathbb R^m, \quad f_A(\boldsymbol x) = A \boldsymbol x fA​:Rn→Rm,fA​(x)=Ax 则容易验证 fAf_AfA​ 为线性映射 称这一类线性映射为由矩阵诱导的线性映射 也非常容易验证的是，fAf_AfA​ 的核实际上就是齐次方程 Ax=0A \boldsymbol x =...

# 映射 回顾一下函数的概念。通常，如果有两个变量 x,yx, yx,y，确定了 xxx 的值后，yyy 的值也对应地唯一确定，则称 yyy 是 xxx 的函数。 在大学数学中，将不再局限于实数或复数，而是处理一般集合的元之间的对应关系。这种推广了意义的函数称为 “映射” 定义 每确定集合 XXX 的一个元 xxx，就按照某种法则 fff 唯一确定集合 YYY 的一个元 yyy，称法则 fff 为从 XXX 到 YYY 的 映射 (Map, Mapping)「写像」，记作： f:X→Yf: X \to Y f:X→Y XXX 称为 fff 的 始域 (Domain)「始域」 或...

# 集合族 许多情况下我们需要讨论多个集合而不是单个集合。为了整理和标记这些集合，需要一个添字集 令 Λ\LambdaΛ 为一个非空集合，通过将 Λ\LambdaΛ 中的每一个元素 λ∈Λ\lambda \in \Lambdaλ∈Λ 都映射到一个集合 AλA_\lambdaAλ​，那么 Λ\LambdaΛ 成为 添字集 (index set)「添字集合」 此时映射得到的全体集合，称为被添字集 Λ\LambdaΛ 所添的 集合族 (family of sets)「集合族」，记为 {Aλ}λ∈Λ\{ A_\lambda...