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抽象代数的研究对象是代数结构，而整数集 Z\mathbb ZZ 是最经典、最基础的代数结构（环）。 许多抽象概念（如理想、生成元）的直觉都源于整数。 本节将回顾有理整数环 Z\mathbb ZZ 的基本性质，为后续的群论与环论打下基础。 # 最大公因数与最小公倍数 在整数论中，最大公约数与最小公倍数是两个重要的概念 取整数 a,ba,ba,b（不全为 0），若整数 ddd 满足 d∣ad \mid ad∣a d∣bd \mid bd∣b 则称 ddd 为 a,ba,ba,b 的一个 公约数 在所有公约数中，最大的那个称为 a,ba,ba,b 的 最大公约数...

本章节主要讨论线性下的方程 # 二阶线性常微分方程 二阶常微分方程 (Second-Order Ordinary Differential Equation, SODE)「二階常微分方程式」 是指形如 F(x,y,y′,y′′)=0F(x, y, y', y'') = 0 F(x,y,y′,y′′)=0 的常微分方程，其中 yyy 是未知函数，xxx 是自变量，y′y'y′ 和 y′′y''y′′ 分别是 yyy 关于 xxx...

本节详细分析多项式环的结构性质 以下默认 RRR 为整环 # 多项式除法 现在让我们考虑多项式环上是否可以定义除法 如素元分解章节所说，整环的带余除法需要 Euclidean 整环的性质支持 虽然系数环 RRR 是整环可以保证多项式环 R[x]R[x]R[x] 也是整环 但是 Euclidean 整环的性质并不能直接传递到多项式环上，还需要对系数有更强的要求：域 此时次数函数 deg⁡\degdeg 可以作为 Euclidean 函数 命题 令 RRR 为域，f,g∈R[x]f,g \in R[x]f,g∈R[x], g≠0g \neq 0g=0 则存在唯一的...

# 连通性 定义 在拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 中，称 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 是 连通的 (connected)「連結」 等价于 O∩F={∅,X}\mathcal O \cap \mathcal F = \{\emptyset,X\} O∩F={∅,X} 换句话说，连通性等价于：XXX 中不存在非平凡的既是开集又是闭集的子集 如果一个拓扑空间非连通，那么就可以取到一个非平凡的子集 UUU，使得 UUU 既开又闭 那么显然取 V=UcV=U^cV=Uc...

# 度量空间 定义 设 XXX 为非空集合 若映射 d:X×X→Rd:X \times X \to \mathbb Rd:X×X→R 满足 ∀x,y∈X, d(x,y)≥0{}^\forall x,y \in X,\ d(x,y) \geq 0∀x,y∈X, d(x,y)≥0，并且：当且仅当 x=yx=yx=y 时 d(x,y)=0d(x,y)=0d(x,y)=0 ∀x,y∈X, d(x,y)=d(y,x){}^\forall x,y \in X,\ d(x,y) =...