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# 集合 元素 aaa 属于集合 AAA ，记作 a∈Aa \in Aa∈A 元素 aaa 不属于集合 AAA ，记作 a∉Aa \not\in Aa∈A 交并定义 A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}\begin{aligned} A \cup B &= \{ x \mid x \in A \lor x \in B \} \\ A \cap B &= \{ x \mid x \in A...

以下令 SSS 为正则曲面 # 测地线 定义 若 SSS 上的 C∞C^\inftyC∞ 曲线 γ:I→S\boldsymbol \gamma : I \to Sγ:I→S 满足 d2γdt2⊥Tγ(t)S, ∀t∈I\frac{d^2 \boldsymbol \gamma}{dt^2} \perp T_{\boldsymbol \gamma(t)}S,\ \forall t \in I \quad dt2d2γ​⊥Tγ(t)​S, ∀t∈I 则称 γ\boldsymbol...

# Riemannian 度规 以下令开集 D⊂R2D \subset \mathbb R^2D⊂R2 取 DDD 上的定点 q=(uv)∈D\boldsymbol q = \binom{u}{v} \in Dq=(vu​)∈D，构造平面上的切空间 TqD=R2T_{\boldsymbol q}D = \mathbb R^2Tq​D=R2 取正交归一标准基底 e1=(10),e2=(01)\boldsymbol e_1 = \binom{1}{0}, \quad \boldsymbol e_2 =...

# 回转角 令 D⊂R2D \subset \mathbb R^2D⊂R2 为开集 取 DDD 上的 Riemannian 度规 ggg (ξ,η)q=gq(ξ,η),∥ξ∥q=(ξ,ξ)q(\xi, \eta)_{\boldsymbol q} = g_{\boldsymbol q}(\xi, \eta), \quad \|\xi\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{(\xi, \xi)_{\boldsymbol...

微分形简单来说就是在积分 ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy\int f(x)dx,\quad \iint f(x,y)dxdy ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy 中，形如 f(x)dx,f(x,y)dxdyf(x)dx, f(x,y)dxdy f(x)dx,f(x,y)dxdy 的部分 微分形具有不同的次数，也可以定义在不同维度的空间中。为了方便理解，我们首先从二维空间的 111 次微分形开始导入 # 1 - 形式 令 U⊂R2U \subset \mathbb R^2U⊂R2 为开集 对于定点 p∈U\boldsymbol p...