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本章主要内容为以微分形式为对象的计算 以下计算均建立在开集 UUU 上的 kkk 形式： Ωk(U)\Omega^k(U)Ωk(U) 上 对于 α,β∈Ωk(U)\alpha, \beta \in \Omega^k(U)α,β∈Ωk(U)，记 α=∑i1,…,ik=1nfi1⋯ikdxi1∧⋯∧dxikβ=∑j1,…,jk=1ngj1⋯jkdxj1∧⋯∧dxjk\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots...

# 拉回 设 U⊂Rn, V⊂RmU\subset\mathbb R^n, \ V\subset\mathbb R^mU⊂Rn, V⊂Rm 为开集，坐标分别为 (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n)(x1​,…,xn​) 与 (y1,…,ym)(y_1, \dots, y_m)(y1​,…,ym​)。取 C∞C^\inftyC∞ 映射 φ=(φ1φ2⋮φn):V→U,\boldsymbol\varphi= \begin{pmatrix} \varphi_1...

# 第一基本形式 基本形式是描述曲面性质的常用工具。第一基本形式通常由内积计算获得，可以用于测量长度，角度，面积，以及后面的测地线和高斯曲率。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v)σ(u,v) 为其参数表示，称 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2I := Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2 为 SSS 的第一基本形式 (First Fundamental...

# 曲率定义 有了第一、第二基本形式和形算子，现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3σ(u,v):D→R3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}STp​S 为 SSS 在 p∈S\boldsymbol p \in Sp∈S...

进入本章内容前，请充分复习线性代数中线性变换与矩阵表示的相关内容 截至目前，微分几何对于曲面的研究主要是通过偏微分的组合，反复对曲面的参数化进行运算，从而分析曲面上的点在各个方向上的变化表现，从而得到曲率等重要性质 但是，除了分析式的运算以外，微分几何也可以利用线性代数作为工具进行分析 本节详细介绍代数式的计算如何在曲面研究中发挥重要作用 # Cartan 标架与联络 本节分析对象为切空间 以下令正则曲面 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 正向参数化 σ:D→S\boldsymbol \sigma: D \to Sσ:D→S 固定曲面上一点...