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梯度，散度与旋度是几何中重要的计算对象，形式上定义 nnn 维空间上的 Nabla 算子为 ∇:=(∂∂x1∂∂x2⋮∂∂xn)\nabla := \begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial x_1} \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial x_2} \\[6pt] \vdots \\[6pt] \dfrac{\partial}{\partial...

# 变量代换 在引入积分问题之前，先思考如何改变曲面片的参数化的变量 称 C∞C^\inftyC∞ 映射 f:U(⊂Rm)→V(⊂Rn)f: U(\subset \mathbb R^m) \to V(\subset \mathbb R^n)f:U(⊂Rm)→V(⊂Rn) 为 微分同胚 (Diffeomorphism)「微分同相」，当且仅当 fff 是双射，并且 fff 与 f−1f^{-1}f−1 都是光滑映射 命题 令 EEE 为 s−ts-ts−t 平面 R2\mathbb R^2R2 中的非空开集，DDD 为 u−vu-vu−v...

# 曲面片 进入曲面的讨论前，需要先了解曲面的基本单位定义 定义 令 DDD 为 R2\mathbb R^2R2 的非空开集 令映射 σ:D→R3\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3σ:D→R3，称其的像 σ(D)\boldsymbol \sigma(D)σ(D) 为 R3\mathbb R^3R3 中的 曲面片 (Surface Patch)「曲面片」，当且仅当满足： 映射 σ\boldsymbol \sigmaσ 为光滑映射，即其各分量函数均为...

# 路径 设 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb R^nc:[a,b]→Rn 为一条分段光滑曲线 可以将 c\boldsymbol cc 视为一条从点 c(a)\boldsymbol c(a)c(a) 到点 c(b)\boldsymbol c(b)c(b) 的路径 记 与路径 c\boldsymbol cc 方向相反的路径为 c−1\boldsymbol c^{-1}c−1，即 c−1(t)=c(a+b−t), t∈[a,b]\boldsymbol c^{-1}(t) =...

曲率是微分几何研究的中心内容 以下令曲线 c:I→Rn\boldsymbol c: I \to \mathbb R^nc:I→Rn 为弧长参数化下的正则曲线 # 曲率 众所周知，一阶微分评价曲线的变化速度，通过已知曲线在任意一点的速度即可确定出曲线的路径，这使得一阶微分具有无可比拟的意义。在物理意义上等价于速度向量 称曲线的一阶微分 c′(s)\boldsymbol c'(s)c′(s) 为曲线的 单位切向量场 (Unit Tangent Vector Field)「単位接ベクトル場」，记作 t(s):=c′(s)\boldsymbol...