# 复可微 注意要求点位于内部而不是边界 定义 对于复变函数 f:D(⊂C)→C, z0∈D∘f: D (\subset \mathbb C) \to \mathbb{C},\ z_0 \in D^\circf:D(⊂C)→C, z0​∈D∘，如果极限 lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0=(lim⁡ζ→0f(z0+ζ)−f(z0)ζ)\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \left( \lim_{\zeta...

# 复数基本性质 复平面上数的表示： z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R} z=x+iy,x,y∈R 实部：Re(z)=Im，虚部：\mathrm{Re}(z) =\mathrm{Im}，虚部：Re(z)=Im，虚部：\Im(z) = y。模长：。 模长：。模长：|z|^2 = \mathrm{Re}\mathrm{Im}^2 + \Im(z)^2。偏角：。 偏角：。偏角：\theta$，其中 θ\thetaθ...

曲率是微分几何研究的中心内容 以下令曲线 c:I→R3\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^3c:I→R3 为弧长参数化下的正则曲线 # 平面曲线 平面曲线的切向量 c′(s)\boldsymbol c'(s)c′(s) 由曲线的移动方向唯一确定，但是法向量有两个方向可取 通常来说，固定选择右手系的方向，即切向量逆时针旋转 90∘90^\circ90∘ 的方向为法向量的方向 记 t(s)=c′(s)\boldsymbol t(s) = \boldsymbol...

# 拉回 设 U⊂Rn, V⊂RmU\subset\mathbb R^n, \ V\subset\mathbb R^mU⊂Rn, V⊂Rm 为开集，坐标分别为 (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n)(x1​,…,xn​) 与 (y1,…,ym)(y_1, \dots, y_m)(y1​,…,ym​)。取 C∞C^\inftyC∞ 映射 φ=(φ1φ2⋮φn):V→U,\boldsymbol\varphi= \begin{pmatrix} \varphi_1...

几何中的曲线在分析角度本质上是一个向量函数。 从 R\mathbb{R}R 中取区间 III，用 ttt 表示区间中的变量 那么曲线就可以表示为 c:I→Rn, t↦c(t)\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^n,\ t \mapsto \boldsymbol c(t) c:I→Rn, t↦c(t) # 正则曲线 定义 若对于任意 t∈It \in It∈I c′(t)≠0\boldsymbol c'(t) \neq \boldsymbol...

# 第一基本形式 基本形式是描述曲面性质的常用工具。第一基本形式通常由内积计算获得，可以用于测量长度，角度，面积，以及后面的测地线和高斯曲率。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v)σ(u,v) 为其参数表示，称 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2I := Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2 为 SSS 的第一基本形式 (First Fundamental...

# 曲率定义 有了第一、第二基本形式和形算子，现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3σ(u,v):D→R3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}STp​S 为 SSS 在 p∈S\boldsymbol p \in Sp∈S...

# 刚体变换 给定正交矩阵 A∈SO(3)A \in SO(3)A∈SO(3) 和向量 b∈R3\boldsymbol b \in \mathbb R^3b∈R3，定义映射 T:R3→R3T: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3T:R3→R3 为 T(x)=Ax+bT(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x + \boldsymbol b T(x)=Ax+b 称 TTT 为 R3\mathbb R^3R3 上的刚体变换 (Rigid...

# 内积 向量与向量之间最为重要的运算就是内积与外积。 定义 对于 Rn\mathbb R^nRn 内的两元 a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn)\boldsymbol a = (a_1, a_2, \dots, a_n),\ \boldsymbol b = (b_1, b_2, \dots, b_n)a=(a1​,a2​,…,an​), b=(b1​,b2​,…,bn​) 定义其 内积 (dot product) 为 a⋅b=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\boldsymbol a...

进入本章内容前，请充分复习线性代数中线性变换与矩阵表示的相关内容 # 结构方程 以下令正则曲面 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 正向参数化 σ:D→S\boldsymbol \sigma: D \to Sσ:D→S 固定点 p=σ(u,v)∈S\boldsymbol p = \boldsymbol \sigma(u,v) \in Sp=σ(u,v)∈S 对切空间 TpST_{\boldsymbol p}STp​S 进行代数式分析，基于 Gram–Schmidt 正交化构造正交归一基底...