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本篇主要内容为数学系本科课程的笔记资料，个人讲解和推导总结 不面向工科。相较于讲解如何计算更注重理论的证明和理解 所有内容均为本人独立完成，难免会有部分计算和符号错误，请见谅 （主页个人信息位置也有邮箱链接，如果你指出来哪里有问题我会很感谢） 毕业前我真的能写完吗？?？?？?？? 亮了就是写了 勾了就是写完了 # 第一阶段 # 集合论 Set Theory 太基础了不想写 集合 映射 集合族 等价关系 浓度 偏序关系 最大元与极大元 Zorn 引理 # 线性代数 Linear Algebra 太基础了不想写 矩阵 矩阵与方程组 行列式 对角化 二次型 最小二乘法 # 高等代数...

# 基础文本形式字母表 字母 LaTeX 代码 字母 LaTeX 代码 A a A a B b B b C c C c D d D d E e E e F f F f G g G g H h H h I i I i J j J j K k K k L l L l M m M m N n N n O o O o P p P p Q q Q q R r R r S s S s T t T t U u U u V v V v W w W w X x X x Y y Y y Z z Z z # 数学模式下字母表（斜体） 字母 LaTeX 代码 字母 LaTeX...

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# 12 积分定理的再定式化 利用前面导入的微分形式的积分，把已学的各类积分定理统一改写为微分形式与其外微分的等式形式。:contentReferenceoaicite:0 # 12.1 曲线版微积分学的基本定理 定理 微积分基本定理（曲线版） 设 C:x=γ(t) (a≤t≤b)C:x=\gamma(t)\ (a\le t\le b)C:x=γ(t) (a≤t≤b) 为 Rn\mathbb R^nRn 内的 C∞C^\inftyC∞ 曲线，对包含 CCC 的开集上的 C∞C^\inftyC∞ 函数 fff...

# 第 11 章 微分形式的拉回与积分 # 11.1 拉回 设 U⊂Rn, V⊂RmU \subset \mathbb R^n,\ V \subset \mathbb R^mU⊂Rn, V⊂Rm 为开集，U,VU,VU,V 的坐标分别记作 (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n)(x1​,…,xn​) 与 (y1,…,ym)(y_1,\dots,y_m)(y1​,…,ym​)。取 C∞C^\inftyC∞ 映射 φ=(φ1φ2⋮φn):V→U,\boldsymbol\varphi...

定义 令 D⊂CD \subset \mathbb CD⊂C 为开集，f:D→Cf: D \to \mathbb Cf:D→C 若对点 z0∈Dz_0 \in Dz0​∈D 存在一个收敛半径为 r>0r > 0r>0 的幂级数 ∑n=0∞anzn\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n∑n=0∞​an​zn，以及一个正数 0<e<r0 < e < r0<e<r 对任意 z∈D(z0,e)z...

本章主要内容为以微分形式为对象的计算 以下计算均建立在开集 UUU 上的 kkk 形式： Ωk(U)\Omega^k(U)Ωk(U) 上 对于 α,β∈Ωk(U)\alpha, \beta \in \Omega^k(U)α,β∈Ωk(U)，记 α=∑i1,…,ik=1nfi1⋯ikdxi1∧⋯∧dxikβ=∑j1,…,jk=1ngj1⋯jkdxj1∧⋯∧dxjk\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots...

微分形简单来说就是在积分 ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy\int f(x)dx,\quad \iint f(x,y)dxdy ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy 中，形如 f(x)dx,f(x,y)dxdyf(x)dx, f(x,y)dxdy f(x)dx,f(x,y)dxdy 的部分 微分形具有不同的次数，也可以定义在不同维度的空间中。为了方便理解，我们首先从二维空间的 111 次微分形开始导入 # 1 - 形式 令 U⊂R2U \subset \mathbb R^2U⊂R2 为开集 对于定点 p∈U\boldsymbol p...

# 几何分布 重复独立地同一实验 nnn 次，其中某事件 AAA 每次发生的概率为 ppp 记事件 AAA 在第 kkk 次实验中首次发生的概率为 P(X=k)P(X=k)P(X=k) 则此时随机变量 XXX 的分布称为 几何分布 (Geometric Distribution)「幾何分布」，记为 X∼G(p)X \sim G(p)X∼G(p) P(X=k)=(1−p)k−1pP(X=k) = (1-p)^{k-1} p P(X=k)=(1−p)k−1p 几何分布的 期望值 E[X]=1pE[X] = \frac{1}{p} \quadE[X]=p1​ 方差...

# 指数分布 回想一下 Poisson 分布中，已经处理了针对单位时间内事件发生次数的问题 而如果换为考虑事件事件发生的间隔事件，那随机变量将成为连续型变量（时间） 假设以下前提 事件 AAA 在某时间段发生的概率是独立的 在极小的时间间隔 Δt\Delta tΔt 内，事件 AAA 至多发生一次，并且其概率由 λΔt\lambda \Delta tλΔt 给出，其中 λ>0\lambda > 0λ>0 为常数 令随机变量 XXX 表示事件 AAA 发生的时间间隔 则 XXX 服从参数为 λ\lambdaλ...

# 正态分布 正态分布是最重要的连续型概率分布，没有之一 如果随机变量 XXX 的概率密度函数为 f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,x∈Rf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x \in \mathbb R f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​,x∈R 其中 μ∈R\mu \in \mathbb Rμ∈R，σ>0\sigma >...

# Poisson 分布 在二项分布中，如果实验量 nnn 很大，会使得实际计算变成复杂 所以在二项分布的基础上，如果令 n→∞,p→0n \to \infty, p \to 0n→∞,p→0 且 np=λnp = \lambdanp=λ 始终保持为常数 那么此时随机变量 XXX 的分布称为 Poisson 分布 (Poisson Distribution)「ポアソン分布」，记为 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ) P(X=k)=λke−λk!P(X=k) = \frac{\lambda^k...

# 曲率定义 有了第一、第二基本形式和形算子，我们现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3σ(u,v):D→R3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}STp​S 为 SSS 在 p∈S\boldsymbol p \in Sp∈S...