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计算机笔记目录
计算机专业相关内容的学习笔记
# 计算数学 Information Mathematics
参考书籍
榎本 彦衛:情報数学入門,新曜社,1987
Rudolf Lidl, Gunter Pilz: Applied Abstract Algebra, Springer, 1998
# 数值计算 Numerical Algorithms
参考书籍
久保田 光一:工学基礎 数値解析とその応用,数理工学社,2010
E. クライツィグ (田村 義保 訳): 数値解析 (技術者のための高等数学 5), 培風館,2003
Erwin Kreyszig: Advanced Engineering...
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【数学分析】3-上极限与下极限
# 上极限与下极限
某些情况下,经典极限 limn→∞xn\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_nn→∞limxn 的存在条件过于苛刻。
极限要求序列最终无限逼近单一确定的值,但分析学中存在大量不收敛的振荡数列
为了对所有数列的行为进行分析,可以引入上极限和下极限的概念
任意给出一个实数列 {xn}\{x_n\}{xn},分别定义其靠后的上确界序列 SnS_nSn 和下确界序列 InI_nIn:
Sn=supk≥nxk,In=infk≥nxkS_n = \sup_{k \ge n}...
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【数学分析】2-数列
# 数列的收敛
对于一个自然数集到实数的映射
x:N→R,n↦x(n)x: \mathbb N \to \mathbb R, n \mapsto x(n)
x:N→R,n↦x(n)
可以等价地将每一个元写作
xn:=x(n)x_n := x(n)
xn:=x(n)
那么,记其构成的值域
{x1,x2,x3,…}\{x_1, x_2, x_3, \ldots\}
{x1,x2,x3,…}
为一个 数列 (sequence)「数列」,特别地如果强调取值为实数,可以称为实数列,也就是说 {xn}⊂R\{x_n\}...
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【数学分析】10-积分
从直观上来说,积分指示了函数图像与 xxx 轴之间的面积,但是随着本科数学对函数的抽象化,高中阶段给出的积分定义已经无法满足分析学的需求了,为了解决 “什么样的函数可以积分” 这个问题,最广泛使用的是由 Riemann 给出的定义
# 上下积分
积分最核心的思想无疑是切分,计算,重组。
给出实数 R\mathbb RR 的区间 I=[a,b]I=[a, b]I=[a,b] 我们想要对这个区间进行严格的切分
不难意识到:只要决定了分割的点位,分割方式就是唯一的,因此等价于取一个数列 {xn}⊂I\{x_n\} \subset...
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【数学分析】1-实数
# 实数的构成
通常来说,人们对 “实数” 的概念是一根数轴。在接触到数学分析之前,许多结论看起来是理所当然的,例如
显然 y=xn−ay = x^n - ay=xn−a 与 y=0y = 0y=0 有交点 x = \sqrt[n]
显然 limn→∞1n=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0n→∞limn1=0
为了真正做到分析,需要彻底了解什么是实数,实数具有什么样的性质
第一个要考虑的问题就是...
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【数学分析】4-函数的连续性
对于实数 aaa,定义其 δ\deltaδ - 邻域 (δ\deltaδ-Neighborhood)「δ\deltaδ - 近傍」 为
B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ}B(a, \delta) := \{x \in \mathbb R: |x - a| \lt \delta\}
B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ}
如果不强调范围,可以一般称为邻域
同时,定义去掉点 aaa 本身的范围
B∗(a,δ):=B(a,δ)∖{a}B^*(a, \delta) :=...
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