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2.5k words 2 mins.

自用的本科数学课程学习笔记 重心在于对方法原理的解构与证明流程分析 本笔记中规定 所有首次出现的名词概念都将以 中文 (英文)「日语」的形式给出，如果一个看起来陌生的词汇没有以这个形式出现，说明前文已经出现过了，善用搜索 对于 类似人名 + 已有词汇 拼凑得到的词汇，即使首次出现也不会给出三语标注，而是简单加粗 所有出现的人名拒绝使用音译名（例如欧拉，拉格朗日），而是给出通用英文名（例如 Euler, Lagrange），即使对于非英语母语国家的数学家也一样 子集符号 ⊂\subset⊂ 表示一般子集关系，等价于 ⊆\subseteq⊆，而真子集用...
786 words 1 mins.

鉴于这里所有的备考都是日本的考试，所以该模块全部使用日文 # 日本留学試験 (EJU) 公式サイト：https://eju-online.jasso.go.jp/src/CMNLOGIN010.php 留学生が日本の大学に入学するための試験である。高校までの内容が出題される。 年に 2 回実施される。 料金は、1 科目 12000 円、2 または 3 科目 23000 円である。（2026/3/11 時点） 目次 数学 I+A 数学 II+B 数学 III+C # 日本語能力試験 (JLPT) #...
3k words 3 mins.

计算机专业相关内容的学习笔记 # 计算数学 Information Mathematics 参考书籍 榎本 彦衛：情報数学入門，新曜社，1987 Rudolf Lidl, Gunter Pilz: Applied Abstract Algebra, Springer, 1998 # 数值计算 Numerical Algorithms 参考书籍 久保田 光一：工学基礎 数値解析とその応用，数理工学社，2010 E. クライツィグ (田村 義保 訳): 数値解析 (技術者のための高等数学 5), 培風館，2003 Erwin Kreyszig: Advanced Engineering...

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7.3k words 7 mins.

# 上极限与下极限 某些情况下，经典极限 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_nn→∞lim​xn​ 的存在条件过于苛刻。 极限要求序列最终无限逼近单一确定的值，但分析学中存在大量不收敛的振荡数列 为了对所有数列的行为进行分析，可以引入上极限和下极限的概念 任意给出一个实数列 {xn}\{x_n\}{xn​}，分别定义其靠后的上确界序列 SnS_nSn​ 和下确界序列 InI_nIn​： Sn=sup⁡k≥nxk,In=inf⁡k≥nxkS_n = \sup_{k \ge n}...
23k words 21 mins.

# 数列的收敛 对于一个自然数集到实数的映射 x:N→R,n↦x(n)x: \mathbb N \to \mathbb R, n \mapsto x(n) x:N→R,n↦x(n) 可以等价地将每一个元写作 xn:=x(n)x_n := x(n) xn​:=x(n) 那么，记其构成的值域 {x1,x2,x3,…}\{x_1, x_2, x_3, \ldots\} {x1​,x2​,x3​,…} 为一个 数列 (sequence)「数列」，特别地如果强调取值为实数，可以称为实数列，也就是说 {xn}⊂R\{x_n\}...
9.1k words 8 mins.

从直观上来说，积分指示了函数图像与 xxx 轴之间的面积，但是随着本科数学对函数的抽象化，高中阶段给出的积分定义已经无法满足分析学的需求了，为了解决 “什么样的函数可以积分” 这个问题，最广泛使用的是由 Riemann 给出的定义 # 上下积分 积分最核心的思想无疑是切分，计算，重组。 给出实数 R\mathbb RR 的区间 I=[a,b]I=[a, b]I=[a,b] 我们想要对这个区间进行严格的切分 不难意识到：只要决定了分割的点位，分割方式就是唯一的，因此等价于取一个数列 {xn}⊂I\{x_n\} \subset...
6.2k words 6 mins.

# 实数的构成 通常来说，人们对 “实数” 的概念是一根数轴。在接触到数学分析之前，许多结论看起来是理所当然的，例如 显然 y=xn−ay = x^n - ay=xn−a 与 y=0y = 0y=0 有交点 x = \sqrt[n] 显然 lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0n→∞lim​n1​=0 为了真正做到分析，需要彻底了解什么是实数，实数具有什么样的性质 第一个要考虑的问题就是...
13k words 11 mins.

对于实数 aaa，定义其 δ\deltaδ - 邻域 (δ\deltaδ-Neighborhood)「δ\deltaδ - 近傍」 为 B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ}B(a, \delta) := \{x \in \mathbb R: |x - a| \lt \delta\} B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ} 如果不强调范围，可以一般称为邻域 同时，定义去掉点 aaa 本身的范围 B∗(a,δ):=B(a,δ)∖{a}B^*(a, \delta) :=...