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本篇主要内容为数学系本科课程的笔记资料，个人讲解和推导总结 不面向工科。相较于讲解如何计算更注重理论的证明和理解 所有内容均为本人独立完成，难免会有部分计算和符号错误，请见谅 （主页个人信息位置也有邮箱链接，如果你指出来哪里有问题我会很感谢） 毕业前我真的能写完吗？?？?？?？? 亮了就是写了 勾了就是写完了 # 第一阶段 # 集合论 Set Theory 太基础了不想写 1. 集合 2. 映射 3. 集合族 4. 等价关系 5. 浓度 6. 偏序关系 7. 最大元与极大元 8. Zorn 引理 # 线性代数 Linear Algebra 太基础了不想写 1. 矩阵 2....

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# URL URL (Uniform Resource Locator): 统一资源定位符 是互联网上标准的资源地址格式 通常在浏览器中输入就可以访问 格式为 scheme://domain:port/path?query_string#fragment_id scheme：协议，例如 http, https, ftp, file 等 domain：域名，例如 www.example.com port：端口号，通常可以省略，默认 http 为 80，https 为...

统计学本质上的目的是去尽可能精确的估计总体的参数 例如我们想要研究全球人类的平均身高 最常见的方法就是随机抽取大量样本，然后进行估算 假设总体的平均身高为 μ\muμ，抽取标本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_nX1​,X2​,…,Xn​，计算标本的平均身高 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_iX=n1​i=1∑n​Xi​ 自然我们期待 X‾\overline{X}X 能够尽可能接近...

# 标本的获取 # 标本统计量 # 标本分布 引入标本分布前，需要明确几个概念 总体 (Population)「母集団」：研究对象的全体 总体平均数 (Population Mean)「母平均」：总体中所有个体的平均数 总体方差 (Population Variance)「母分散」：总体中所有个体的方 样本 (Sample)「標本」：从总体中抽取的一部分个体 标本 (Statistic)「標本統計量」：从样本中计算得到的量 参数...

# 正态分布 正态分布是最重要的连续型概率分布，没有之一 如果随机变量 XXX 的概率密度函数为 f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,x∈Rf(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x \in \mathbb R f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​,x∈R 其中 μ∈R\mu \in \mathbb Rμ∈R，σ>0\sigma >...

# 均匀分布 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上，如果随机变量 XXX 的概率处处相等 则称随机变量 XXX 服从区间 [a,b][a,b][a,b] 上的 均匀分布 (Uniform Distribution)「均勻分布」，记为 X∼U(a,b)X \sim U(a,b)X∼U(a,b) f(x)={1b−a,a≤x≤b0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, &...

# 指数分布 回想一下 Poisson 分布中，已经处理了针对单位时间内事件发生次数的问题 而如果换为考虑事件事件发生的间隔事件，那随机变量将成为连续型变量（时间） 假设以下前提 事件 AAA 在某时间段发生的概率是独立的 在极小的时间间隔 Δt\Delta tΔt 内，事件 AAA 至多发生一次，并且其概率由 λΔt\lambda \Delta tλΔt 给出，其中 λ>0\lambda > 0λ>0 为常数 令随机变量 XXX 表示事件 AAA 发生的时间间隔 则 XXX 服从参数为 λ\lambdaλ...

# 随机变量 定义 若实数值映射 X:Ω→RX:\Omega \to \mathbb RX:Ω→R 对任意 x∈Rx \in \mathbb Rx∈R 满足 {ω∈Ω∣X(ω)≤x}∈F\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq x\} \in \mathcal F {ω∈Ω∣X(ω)≤x}∈F 则称 XXX 为 (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal F, P)(Ω,F,P) 上的 随机变量 (Random...

# Poisson 分布 在二项分布中，如果实验量 nnn 很大，会使得实际计算变成复杂 所以在二项分布的基础上，如果令 n→∞,p→0n \to \infty, p \to 0n→∞,p→0 且 np=λnp = \lambdanp=λ 始终保持为常数 那么此时随机变量 XXX 的分布称为 Poisson 分布 (Poisson Distribution)「ポアソン分布」，记为 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ) P(X=k)=λke−λk!P(X=k) = \frac{\lambda^k...

# 几何分布 重复独立地同一实验 nnn 次，其中某事件 AAA 每次发生的概率为 ppp 记事件 AAA 在第 kkk 次实验中首次发生的概率为 P(X=k)P(X=k)P(X=k) 则此时随机变量 XXX 的分布称为 几何分布 (Geometric Distribution)「幾何分布」，记为 X∼G(p)X \sim G(p)X∼G(p) P(X=k)=(1−p)k−1pP(X=k) = (1-p)^{k-1} p P(X=k)=(1−p)k−1p 几何分布的 期望值 E[X] = \frac{1} 方差 V[X] = \frac{1-p} 矩量母函数...

# 二项分布 重复独立地同一实验 nnn 次，其中某事件 AAA 每次发生的概率为 ppp 记事件 AAA 在 nnn 次实验中发生 kkk 次的概率为 P(X=k)P(X=k)P(X=k) 则此时随机变量 XXX 的分布称为 二项分布 (Binomial Distribution)「二項分布」，记为 X∼B(n,p)X \sim B(n,p)X∼B(n,p) P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k 其中...