# 格

给定一个偏序集 $[A, \leq]$
若对任意 $a,b \in A$ ，二元集 $\{a,b\}$ 在 $A$ 中既有上确界 $a \vee b$ 也有下确界 $a \wedge b$ ，则称 $[A, \leq]$ 为 格 (Lattice)「束」

例如，考虑定义在集合 $\mathcal P(X)$ 上的包含关系 $\subseteq$ ，则根据以下定义， $\mathcal P(X)$ 是一个格

$A \vee B = A \cup B,\quad A \wedge B = A \cap B$

再例如给定自然数 $n$ ，定义其因数集 $A := \{d \in \mathbb N \mid d \mid n\}$ ，则根据以下定义， $A$ 是一个格

$a \vee b = \mathrm{lcm}(a,b),\quad a \wedge b = \mathrm{gcd}(a,b)$

令格 $[A, \leq]$ ，子集 $B \subseteq A$ ，如果对于任意 $x, y \in B$ 都满足 $x \vee y \in B$ 且 $x \wedge y \in B$ ，则称 $B$ 是 $A$ 的一个 子格 (Sublattice)「部分束」

命题
对于格 $[A, \leq]$ 上的元 $a,b,c$ ，以下基本性质成立：

幂等律： $a \vee a = a, a \wedge a = a$
交换律： $a \vee b = b \vee a, a \wedge b = b \wedge a$
结合律： $a \vee (b \vee c) = (a \vee b) \vee c, a \wedge (b \wedge c) = (a \wedge b) \wedge c$
吸收律： $a \vee (a \wedge b) = a, a \wedge (a \vee b) = a$
整合律： $a \vee b = b \iff a \leq b \iff a \wedge b = a$

证明

幂等律、交换律、结合律直接由上确界与下确界的定义得到
吸收律： $a \vee (a \wedge b) = a$ ，因为 $a \vee (a \wedge b)$ 是 $a$ 与 $a \wedge b$ 的上确界，而 $a$ 是它们的一个上界，所以 $a \vee (a \wedge b) \leq a$ ，又因为 $a$ 是 $a \vee (a \wedge b)$ 的一个上界，所以 $a \leq a \vee (a \wedge b)$ ，因此 $a \vee (a \wedge b) = a$ ，同理可得 $a \wedge (a \vee b) = a$
整合律： $a \vee b = b$ ，因为 $a \vee b$ 是 $a$ 与 $b$ 的上确界，所以 $a \leq a \vee b = b$ ，又因为 $b$ 是 $a$ 与 $b$ 的上确界，所以 $b \leq a \vee b = b$ ，因此 $a \leq b$ ，同理可得 $a \wedge b = a$
$\square$

称时常满足

$a \leq c \implies a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge c$

的格为 模格 (Modular Lattice)「模束」

称时常满足

$(a \wedge b) \vee c = (a \vee c) \wedge (b \vee c),\quad (a \vee b) \wedge c = (a \wedge c) \vee (b \wedge c)$

的格为 分配格 (Distributive Lattice)「分配束」

对于格 $[A, \leq]$ 上的元 $a,b$

若元 $I$ 对任意 $a$ 都满足 $a \leq I$ ，则称 $I$ 是 $A$ 的一个 最大元
若元 $O$ 对任意 $a$ 都满足 $O \leq a$ ，则称 $O$ 是 $A$ 的一个 最小元

数学部分学习笔记指出，若最大，最小元存在，那么唯一

定义对于 $a \in A$ ，如果存在 $b \in A$ 满足

$a \vee b = I,\quad a \wedge b = O$

则称 $b$ 是 $a$ 的 补元 (Complement)「補元」

若在一个分配格中，所有的元素都存在补元，则称该分配格为 Boolean 格 (Boolean Lattice)「ブール束」

# 格

Fourier 级数

信息论