# 定义

# 基本性质

给定区间 $I = [a, b]$，我们定义分段连续的函数 $f: I \to \mathbb C$ 全体构成空间 $\mathscr C$
对于 $f,g \in \mathscr C$，定义 $L^2$ 内积

$$\langle f, g \rangle_{L^2(I)} = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} \mathrm dx$$

以及对应的 $L^2$ 范数

$$\|f\|_{L^2(I)} = \sqrt{\langle f, f \rangle_{L^2(I)}}$$

以下如非特别说明，简写为 $\langle f, g \rangle$ 与 $\|f\|$。

L 实际上是 Lebesgue 的缩写，$L^2$ 意味着两阶 Lebesgue 可积函数空间。

接下来定义基底：

$$\varphi_n(x) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i n x}, \quad n \in \mathbb Z$$

因此 $\{\varphi_n\}_n$ 是 $L^2(-\pi, \pi)$ 的一个正交归一化系统 (Orthonormal System)，虽然其实这是完备的