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# 浮点数

数学中稠密的实数无法利用有限的计算机储存进行表示，出于精度和范围的平衡，目前世界上最广为使用的浮点数标准是 IEEE 754 标准

在该标准中，浮点数可以写为如下形式

v=(−1)s×(f0.f1f2⋯fm)β×βEv = (-1)^s \times (f_0.f_1 f_2 \cdots f_m)_\beta \times \beta^E

其中，

  • (−1)s(-1)^s 表示数值正负，其中 ss 取值为 00 或 11，分别表示正数和负数

  • (f0.f1f2⋯fm)β(f_0.f_1 f_2 \cdots f_m)_\beta 表示数值有效数字，并且强调是 β\beta 进制的数，通常来说 f0f_0 会固定为 00 或 11，而其他数 fkf_k 都是不到 β\beta 的非负整数

  • βE\beta^E 表示数值的量级，EE 是一个整数，称为指数

  • 单精度（Float）：占用 4 字节，32 位，约 7 位十进制有效数字，在 C 语言中通过后缀 f/F 来表示，例如 0.5F

  • 双精度（Double）：占用 8 字节，64 位，约 16 位十进制有效数字，在 C 语言中默认的浮点数类型，例如 0.5

在该标准中，一个 32 位的浮点数被划分为三个区域：

  • 符号位 1 位（Sign, 1 bit）：0 表示正数，1 表示负数
  • 指数位 8 位（Exponent, 8 bits）：采用偏移码（Biased representation）存储，决定了数值的量级范围。
  • 尾数位 23 位（Fraction/Mantissa, 23 bits）：存储有效数字。在规格化表示中，小数点前默认有一个隐藏的 “1”，因此实际有效位数为 24 位。

其数学表达式通常可抽象为：

V=(−1)S×(1+Fraction)×2(E−Bias)V = (-1)^S \times (1 + \text{Fraction}) \times 2^{(E - \text{Bias})}

关于浮点数，需要知道以下事实：

  • 计算机中小数等价为 22 的负幂次方的和，因此 0.5F 严格等于 0.50.5，同时 0.1F 略微大于 0.10.1，而 0.7F 略微小于 0.70.7。
  • 等同于整数的浮点数会被修正

参考以下 C 语言代码

#include <stdio.h>
int main() {
    float a = 0.1F;
    float b = 0.7F;
    float c = 16777217.0F;
    printf("a=%.10f\n", a);
    printf("b=%.10f\n", b);
    printf("c=%.10f\n", c);
}
// output:
// a=0.1000000015
// b=0.6999999881
// c=16777216.0000000000

该类错误被称为舍入误差「丸め誤差」，是由于浮点数的有限精度导致的。
舍入误差会导致运算的结合律不成立，例如 (0.1F + 0.3F) + 0.5F 与 0.1F + (0.3F + 0.5F) 的结果分别为 0.8999999762 和 0.9000000358

虽然我们知道 0.1F 略大于 0.10.1，但是如果将其累加十次，会变得比 11 更大，这种现象叫做信息丢失「情報落ち」，是在运算过程中，由于有效位数不足，小量被大数 “吞掉”，或者做差时前面很多位抵消，导致有用信息丢失。

#include <stdio.h>
int main() {
    int i;
    float x,s;
    x=0.1;
    s=0.0;
    for(i=0;i<10;i++) s=s+x;
    printf("s=%.10f\n", s);
}
// output:
// s=1.0000001192

关于浮点数的误差，还需要知道的是有效数字丢失「桁落ち」，这是两个非常接近的数相减时，前面许多相同的位被抵消掉，导致结果的有效数字大幅减少的现象。
让我们看以下二次方程求根代码示例

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
    float a,b,c,d,x1,x2;
    a=2; b=12340.0; c=3;
    d=b*b-4*a*c;
    printf("a=%f b=%f c=%f d=%f\n", a, b, c, d);
    x1=(-b+sqrt(d))/(2*a);
    x2=(-b-sqrt(d))/(2*a);
    printf("x1=%8f\n", x1);
    printf("x2=%8f\n", x2);
}
// output:
// x1=-0.000162
// x2=-6170.000000
然而，我们不妨代入计算可以得到


x1=−12340+123402−4⋅2⋅32⋅2≈−0.000243,x2=−12340−123402−4⋅2⋅32⋅2≈−6170.000000x_1 = \frac{-12340 + \sqrt{12340^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \approx -0.000243,\quad
x_2 = \frac{-12340 - \sqrt{12340^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \approx -6170.000000


可以看出，虽然 x2x_2 的结果是正确的，但 x1x_1 的结果出现了大幅错误，这是因为分子两项的值过于接近

这种情况下应该使用 x1=−cax2x_1 = \dfrac{-c}{a x_2} 来计算 x1x_1，以避免有效数字丢失


# 浮点数的形式


在对浮点数的表现性质有了初步了解后，我们来了解一下浮点数的形式。

在计算机中，一个浮点数 vv 可以表示为如下形式


v=(−1)s×(f0.f1f2⋯fm)β×βEv = (-1)^s \times (f_0.f_1 f_2 \cdots f_m)_\beta \times \beta^E



其中，


    

  • (−1)s(-1)^s 表示数值正负，其中 ss 取值为 00 或 11，分别表示正数和负数
    • 

  • (f0.f1f2⋯fm)β(f_0.f_1 f_2 \cdots f_m)_\beta 表示数值有效数字，并且强调是 β\beta 进制的数，通常来说 f0f_0 会固定为 00 或 11，而其他数 fkf_k 都是不到 β\beta 的非负整数
    • 

  • βE\beta^E 表示数值的量级，EE 是一个整数，称为指数
    • 



也可以关注三个部分：符号部分 ss，指数部分 ee 与尾数部分 ff


出于精度和范围的平衡，目前世界上最广为使用的浮点数标准是 IEEE 754 标准。我们将详细了解该标准

在该标准中指定进制为二进制，即 β=2\beta = 2，并且常见的有两种精度


    

  • 单精度（Float）：占用 4 字节（32 位），约 7 位十进制有效数字

      

    • 在 C 语言中通过后缀  f/F  来表示，例如  0.5F 。
      • 

    • 该精度下的浮点数被划分为三个区域：符号位 1 位，指数位 8 位，尾数位 23 位
      • 

    

    • 

  • 双精度（Double）：占用 8 字节（64 位），约 16 位十进制有效数字

      

    • 这是 C 语言中默认的浮点数类型，例如  0.5 。
      • 

    • 该精度下的浮点数被划分为三个区域：符号位 1 位，指数位 11 位，尾数位 52 位
      • 

    

    • 



在 IEEE 754 标准中，除了上述的正规化表示之外，还有一些特殊的表示形式


    

  • 非数 NaN（Not a Number）：用于表示未定义或不可表示的数值，例如 0/00/0 或 −1\sqrt{-1}。
    • 

  • +∞+\infty 和 −∞-\infty：分别表示正无穷和负无穷，用于表示超出可表示范围的数值，例如 1/01/0。
    •