# 实数的构成

通常来说，人们对 “实数” 的概念是一根数轴。在接触到数学分析之前，许多结论看起来是理所当然的，例如

显然 $y = x^n - a$ 与 $y = 0$ 有交点 x = \sqrt[n]
显然 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

为了真正做到分析，需要彻底了解什么是实数，实数具有什么样的性质

第一个要考虑的问题就是 “数轴上到底有没有洞”。为了分析该问题不妨假设数轴上确实有一个洞，那么按照偏序关系中较小的集合为 $A$ ，较大的集合为 $B$

我们来证明 $A$ 中不存在最大元，以及 $B$ 中不存在最小元：
假设 $A$ 具有最大元 $a$ ，则

$A = \{x \in \mathbb R \mid x \leq a\}$

由于我们从实数中分为了两端，所以非 $A$ 即 $B$ ，这意味着

$B = \{x \in \mathbb R \mid x \gt a\}$

那么显然

$A = (-\infty, a], \quad B = (a, +\infty)$

二者之间没有任何一个可以放 “洞” 的位置了。
更直观的说法是，如果数轴上存在一个洞，就意味着从这个洞的两侧去无限接近它时，会得到一个不是实数的结果
同样的方法可以证明出 $B$ 中不存在最小元

因此，取上述结论的逆否命题，我们可以得到：将实数分为一大一小两组，无法做到让较小的组具有最大元，较大的组具有最小元
如果这个结论成立，也就说明了数轴上没有洞，更加严谨的描述方法如下

定义
满足以下条件的 $A,B \subset \mathbb R$ 称为实数的 Dedekind 切分 (Dedekind Cut)「デデキント切断」：

$A,B \neq \emptyset$
$A \cup B = \mathbb R$
$A \cap B = \emptyset$
${}^\forall a \in A, b \in B: a \lt b$

数学的结论依赖于推导，Euclid 的几何原本首次提供了公理的概念，给出了推导的起点
作为分析学的基础，实数的连续性是一条被承认的公理

公理 实数的连续性
对于实数的任意 Dedekind 切分 $(A,B)$ ，下列两条一定且只有一条成立：

$A$ 中存在最大元， $B$ 中不存在最小元
$A$ 中不存在最大元， $B$ 中存在最小元

数学分析仅靠这一条公理就可以进行，实际上实数的连续性公理等价于

上确界的存在
有界单调数列的收敛
Bolzano-Weierstrass 定理
Weierstrass 最大值定理

# 上确界与下确界

上下界等概念在集合论的偏序关系章节已经给出过泛用定义，这里强调提醒实数中的定义方式
令子集 $A \subseteq \mathbb R$

若 $x \in \mathbb R$ 对任意 $a \in A$ 都满足 $a \leq x$ ，则称 $x$ 是 $A$ 的上界
若 $x \in \mathbb R$ 对任意 $a \in A$ 都满足 $a \geq x$ ，则称 $x$ 是 $A$ 的下界

一般地，记 $U(A)$ 为 $A$ 的上界集合， $L(A)$ 为 $A$ 的下界集合

$U(A)$ 的最小元称为 $A$ 的上确界，记作 $\sup A$
$L(A)$ 的最大元称为 $A$ 的下确界，记作 $\inf A$

定理 上下确界的存在性
非空的有上（下）界的实数集合必定存在上（下）确界

证明

令 $C \subset \mathbb R$ 非空且有上界，则 $U(C) \neq \emptyset$ ，令

$B := U(C),\quad A := \mathbb R \setminus B$

以下证明 $(A, B)$ 是实数的 Dedekind 切分：
根据定义显然可以知道 $B \neq \emptyset,\ A \cup B = \mathbb R,\ A \cap B = \emptyset$
任取一元 $c \in C$ ，如果有一个元 $z$ 满足 $z \lt c$ ，那么根据定义 $z$ 就不可能是 $C$ 的上界，所以 $z \in A$ ，因此 $A$ 非空

任取 $a \in A$ ， $b \in B$ ，由于 $b$ 是 $C$ 的上界，所以 $a$ 不可能是 $C$ 的上界，因此 $a \lt b$
因此， $(A, B)$ 是实数的 Dedekind 切分

根据实数的连续性，要么 $A$ 中存在最大元，要么 $B$ 中存在最小元
如果 $B$ 中存在最小元那自然就是 $C$ 的上确界了。我们需要证明不可能会有 $A$ 中存在最大元的情况
假设 $A$ 中存在最大元 $a$ ，则 $a$ 不可能是 $C$ 的上界，所以 $a \in A$ ，因此 $a \lt b$ 对任意 $b \in B$ 都成立
因此 $a$ 是 $B$ 的下界，所以 $a \in A$ ，因此 $a$ 是 $A$ 的最大元，所以 $a$ 是 $B$ 的最小元，矛盾

下确界的证明同理
$\square$

上下确界具有一种更形象化的定义方式：它是集合的最极端的边缘

命题 上确界的等价表述
令 $A \subset \mathbb R$ 非空且有上界， $a_0 \in \mathbb R$ ，则以下等价

$a_0 = \sup A$
$a_0$ 是 $A$ 的上界，且对于任意 $\varepsilon \gt 0$ ，存在 $a \in A$ 使得 $a_0 - \varepsilon \lt a$

证明

$(\Rightarrow)$
假设 $a_0 = \sup A$ ，则 $a_0$ 是 $A$ 的上界。对于任意 $\varepsilon \gt 0$ ，如果不存在 $a \in A$ 使得 $a_0 - \varepsilon \lt a$ ，则 $a_0 - \varepsilon$ 是 $A$ 的上界，矛盾。因此存在 $a \in A$ 使得 $a_0 - \varepsilon \lt a$

$(\Leftarrow)$
假设 $a_0$ 是 $A$ 的上界，且对于任意 $\varepsilon \gt 0$ ，存在 $a \in A$ 使得 $a_0 - \varepsilon \lt a$ 。则对于任意 $b \lt a_0$ ，取 $\varepsilon = a_0 - b$ ，存在 $a \in A$ 使得 $b = a_0 - \varepsilon \lt a$ ，因此 $b$ 不是 $A$ 的上界。故 $a_0$ 是 $A$ 的最小上界，即 $a_0 = \sup A$
$\square$

命题 下确界的等价表述
令 $A \subset \mathbb R$ 非空且有下界， $a_0 \in \mathbb R$ ，则以下等价

$a_0 = \inf A$
$a_0$ 是 $A$ 的下界，且对于任意 $\varepsilon \gt 0$ ，存在 $a \in A$ 使得 $a \lt a_0 + \varepsilon$

证明

与上确界的证明同理
$\square$

Archimedes 原理指出自然数集是没有上界的。
在分析学中往往以如下形式表述：

定理 Archimedes 原理
令 $a,b \gt 0$ ，则存在 $n \in \mathbb N$ 使得 $na \gt b$

证明

假设对于任意 $n \in \mathbb N$ 都有 $na \leq b$ ，则 $b$ 是 $\{na \mid n \in \mathbb N\}$ 的上界，矛盾
$\square$

Archimedes 原理最常用的形式是对任意 $\varepsilon \gt 0$ ，存在 $N \in \mathbb N$ 使得 $\dfrac{1}{N} \lt \varepsilon$

由 Archimedes 原理引出的第一个重要结论是有理数是稠密的，这意味着在任意一个极小区间内都一定存在有理数

定理 有理数的稠密性
对于任意的实数 $x \in \mathbb R$ 和任意 $\varepsilon \gt 0$ ，存在 $q \in \mathbb Q$ 使得 $|x - q| \lt \varepsilon$

证明

不妨令 $x \gt 0$ ，任意给定 $\varepsilon \gt 0$ ，根据 Archimedes 原理，存在 $N \in \mathbb N$ 使得 $\dfrac{1}{N} \lt \varepsilon$
再对 $x, \dfrac{1}{N}$ 应用 Archimedes 原理，存在 $M \in \mathbb N$ 使得 $\dfrac{M}{N} \gt x$
选取满足该关系的最小的 $M$ ，则

$\frac{M-1}{N} \leq x \lt \frac{M}{N}$

令

$q = \frac{M}{N}$

则 $q \in \mathbb Q$ ，且

$|x - q| = \frac{M}{N} - x \leq \frac{M}{N} - \frac{M-1}{N} = \frac{1}{N} \lt \varepsilon$

$\square$

因为 $\mathbb Q$ 是 $\mathbb R$ 的子集，所以 $\mathbb R$ 也是稠密的

# 实数的构成

# 上确界与下确界

【数学分析】2-数列

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