# 曲面片

进入曲面的讨论前，需要先了解曲面的基本单位定义

定义
令 $D$ 为 $\mathbb R^2$ 的非空开集
令映射 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ ，称其的像 $\boldsymbol \sigma(D)$ 为 $\mathbb R^3$ 中的 曲面片 (Surface Patch)「曲面片」，当且仅当满足：

映射 $\boldsymbol \sigma$ 为光滑映射，即其各分量函数均为 $C^\infty$ 函数
映射 $\boldsymbol \sigma$ 为单射
对任意点 $\binom{u}{v} \in D$ ，偏导 $\boldsymbol \sigma_u(u,v)$ 与 $\boldsymbol \sigma_v(u,v)$ 线性无关

一般来说会强调 $\boldsymbol \sigma(D)$ 是以 $\boldsymbol \sigma$ 参数化的曲面片
线性独立保证了 $u,v$ 的移动范围确实可以张成一个二维空间

一般来说，取 $\mathbb R^3$ 中的向量表示

$\boldsymbol x = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix},\quad \boldsymbol \sigma(u,v) = \boldsymbol x$

并且常见地，记得到的曲面片为 $S$ ，即

$S: \boldsymbol x = \boldsymbol \sigma(u,v),\quad (u,v) \in D$

任意定义在开集上的二元光滑函数都可以用图像来得到一个曲面片。
令 $f:D \to \mathbb R$ 为定义在开集 $D \subset \mathbb R^2$ 上的光滑函数，则可以定义映射

$\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3,\ \binom{u}{v} \mapsto \begin{pmatrix}u \\ v \\ f(u,v)\end{pmatrix}$

光滑性显然，并且第一第二成分直接给出了单射性，我们来证明偏导线性无关。求其偏导得到

$\boldsymbol \sigma_u(u,v) = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ f_u(u,v)\end{pmatrix},\quad \boldsymbol \sigma_v(u,v) = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ f_v(u,v)\end{pmatrix}$

任取 $\xi, \eta \in \mathbb R$ ，设方程

$\xi \boldsymbol \sigma_u(u,v) + \eta \boldsymbol \sigma_v(u,v) = \boldsymbol 0$

只需要对比第一，第二分量就可以得到 $\xi = \eta = 0$ ，所以偏导线性无关， $\boldsymbol \sigma(D)$ 构成曲面片，并且

$\boldsymbol \sigma(D) = \Gamma_f$

对线性无关性的证明往往采取如下等价判断方法：

命题
令向量 $\boldsymbol a,\ \boldsymbol b \in \mathbb R^3$ ，则以下命题等价：

向量 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 线性无关
$\boldsymbol a \times \boldsymbol b \neq \boldsymbol 0$

证明

向量积的模长的几何意义是 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 构成的平行四边形的面积。
显然这个平行四边形的面积为零，当且仅当 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 共线，即线性相关

$\square$

定义
令 $S$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片，点 $\boldsymbol p \in S$
记通过点 $\boldsymbol p$ 的偏导向量为 $\boldsymbol \sigma_u(a,b),\ \boldsymbol \sigma_v(a,b)$ ，那么称由 $\boldsymbol \sigma_u(a,b)$ 与 $\boldsymbol \sigma_v(a,b)$ 张成的平面为曲面片 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 切平面 (Tangent Plane)「接平面」

与切平面平行的向量称为 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 切向量 (Tangent Vector)「接ベクトル」
与切平面垂直的向量称为 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 法向量 (Normal Vector)「法ベクトル」

命题
令 $S$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片
则 $\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)$ 为 $S$ 在点 $\boldsymbol \sigma(u,v)$ 处的法向量

证明

利用向量积的运算性质

$(\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)) \cdot \boldsymbol v = \det(\boldsymbol \sigma_u(u,v), \boldsymbol \sigma_v(u,v), \boldsymbol v)$

因此，如果 $\boldsymbol v$ 可以写作偏导的线性组合（也就是说 $\boldsymbol v$ 是切向量），则上式行列式有两列相同，结果为零，说明法向量与切向量垂直

$\square$

通过上述结论，法向量可以由各个点偏导的外积得到，所以整个曲面片的单位法向量场也可以写出

定义
令 $S$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片，点 $\boldsymbol p = \boldsymbol \sigma(u,v) \in S$
称映射

$\boldsymbol n: D \to \mathbb R^3,\quad \boldsymbol n(u,v) = \frac{\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)}{\|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\|}$

为曲面片 $S$ 的 单位法向量场 (Unit Normal Vector Field)「単位法線ベクトル場」

# 正则曲面

定义
令 $S \subset \mathbb R^3$ ，称 $S$ 为 $\mathbb R^3$ 中的 正则曲面 (Regular Surface)「正則曲面」，当且仅当对于任意点 $\boldsymbol p \in S$ ，都存在一个定义在其开邻域 $U$ 上的光滑映射 $f: U \to \mathbb R$ 满足

$f^{-1}(\{0\}) = S \cap U$
$\mathrm{grad} f(\boldsymbol p) \neq \boldsymbol 0$

称该 $f$ 为 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 局部方程 (Local Equation)「局所方程」

【微分几何】6-正则曲面

# 曲面片

# 正则曲面

# 变量代换

# 曲面积分

# Stokes 定

# 曲面片

# 正则曲面

# 变量代换

# 曲面积分

# Stokes 定

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