L'ibrary

# 嵌入 对于两个环 RRR 和 R′R'R′，若存在单射环同态 φ:R→R′\varphi : R \to R'φ:R→R′，则原环 RRR 同构于 φ(R)⊆R′\varphi(R) \subseteq R'φ(R)⊆R′，并且 φ(R)\varphi(R)φ(R) 为 R′R'R′ 的子环 这样一来，就可以视为在 R′R'R′ 中分析 RRR 此时称这个单射环同态为 嵌入 (Embedding)「埋め込み」 存在这样的嵌入时，称 环 RRR 可以嵌入到环...

核心内容： ED  ⟹  PID  ⟹  UFD  ⟹  ICD\text{ED} \implies \text{PID} \implies \text{UFD} \implies \text{ICD} ED⟹PID⟹UFD⟹ICD ED：Euclidean 整环，能够做带余除法 PID：主理想整环，理想只需一个生成元 UFD：唯一分解整环，元素分解唯一，算术基本定理成立 ICD：整闭环，包含其分式域中的所有代数整数，所有的根都在环内，没有...

# 域上的乘法群 命题 令 GGG 为群，a∈Ga \in Ga∈G 如果存在正整数 ddd，使得 ad=ea^d = ead=e，则 ord(a)=d  ⟺  ∀p:prime,p∣d:adp≠e\mathrm{ord}(a) = d \iff {}^\forall p:\text{prime}, p \mid d: a^\frac{d}{p} \neq e ord(a)=d⟺∀p:prime,p∣d:apd​=e 证明 (⇒\Rightarrow⇒) 显然 dp<d\frac{d}{p}...

# 环同态与同构 环同态，环同构的部分与群论中的同态，同构高度相似，很多定义和证明基本上形式都一致 定义 令 R,R′R, R'R,R′ 为环 若映射 φ:R→R′\varphi : R \to R'φ:R→R′ 满足 ∀a,b∈R, φ(a+b)=φ(a)+φ(b){}^\forall a,b \in R,\ \varphi(a+b) = \varphi(a) +...

概率并不是一个陌生的概念，但是直到目前的学习中，主要涉及到的概率还停留在离散的古典概率上。举例来说就是分析像是掷骰子这样有有限个结果的事件 但是如果考虑这样一个问题：在区间 [0,1][0,1][0,1] 上随机取一个数，取到 12\frac{1}{2}21​ 的概率是多少？ 就会意识到古典概率的局限性： 直观上来说概率不应该是 000，因为这确实是可能发生的（实际上概率为 000 的事件并非不可能发生） 但是如果使用古典概率的定义，结果又会是 000，因为在区间 [0,1][0,1][0,1] 上有无穷多个数，而 12\frac{1}{2}21​...