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# Riemannian 度规 以下令开集 D⊂R2D \subset \mathbb R^2D⊂R2 取 DDD 上的定点 q=(uv)∈D\boldsymbol q = \binom{u}{v} \in Dq=(vu​)∈D，构造平面上的切空间 TqD=R2T_{\boldsymbol q}D = \mathbb R^2Tq​D=R2 取正交归一标准基底 e1=(10),e2=(01)\boldsymbol e_1 = \binom{1}{0}, \quad \boldsymbol e_2 =...

本章主要内容为以微分形式为对象的计算 以下计算均建立在开集 UUU 上的 kkk 形式： Ωk(U)\Omega^k(U)Ωk(U) 上 对于 α,β∈Ωk(U)\alpha, \beta \in \Omega^k(U)α,β∈Ωk(U)，记 α=∑i1,…,ik=1nfi1⋯ikdxi1∧⋯∧dxikβ=∑j1,…,jk=1ngj1⋯jkdxj1∧⋯∧dxjk\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots...

微分形简单来说就是在积分 ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy\int f(x)dx,\quad \iint f(x,y)dxdy ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy 中，形如 f(x)dx,f(x,y)dxdyf(x)dx, f(x,y)dxdy f(x)dx,f(x,y)dxdy 的部分 微分形具有不同的次数，也可以定义在不同维度的空间中。为了方便理解，我们首先从二维空间的 111 次微分形开始导入 # 1 - 形式 令 U⊂R2U \subset \mathbb R^2U⊂R2 为开集 对于定点 p∈U\boldsymbol p...

# 拉回 设 U⊂Rn, V⊂RmU\subset\mathbb R^n, \ V\subset\mathbb R^mU⊂Rn, V⊂Rm 为开集，坐标分别为 (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n)(x1​,…,xn​) 与 (y1,…,ym)(y_1, \dots, y_m)(y1​,…,ym​)。取 C∞C^\inftyC∞ 映射 φ=(φ1φ2⋮φn):V→U,\boldsymbol\varphi= \begin{pmatrix} \varphi_1...

曲率是微分几何研究的中心内容 以下令曲线 c:I→R3\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^3c:I→R3 为弧长参数化下的正则曲线 # 平面曲线 平面曲线的切向量 c′(s)\boldsymbol c'(s)c′(s) 由曲线的移动方向唯一确定，但是法向量有两个方向可取 通常来说，固定选择右手系的方向，即切向量逆时针旋转 90∘90^\circ90∘ 的方向为法向量的方向 记 t(s)=c′(s)\boldsymbol t(s) = \boldsymbol...