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# 环同态与同构 环同态，环同构的部分与群论中的同态，同构高度相似，很多定义和证明基本上形式都一致 定义 令 R,R′R, R'R,R′ 为环 若映射 φ:R→R′\varphi : R \to R'φ:R→R′ 满足 ∀a,b∈R, φ(a+b)=φ(a)+φ(b){}^\forall a,b \in R,\ \varphi(a+b) = \varphi(a) +...

# 一元方差分析 ANOVA 对于多个总体数据，有时需要考察它们的均值是否存在显著差异 例如，比较不同教学方法对学生成绩的影响，或者不同药物对患者康复的效果 方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 是一种用于比较多个样本均值是否存在显著差异的统计方法 其基本思想是将总变异分解为组间变异和组内变异两部分，通过比较这两部分的变异来判断组均值是否存在显著差异 考虑 kkk 个正态总体，总体方差可以未知，此处假设相等，即 Πi:N(μi,σ2)\Pi_i: N(\mu_i,...

# 拓扑空间 定义 令 X≠∅,O⊂P(X)X \neq \emptyset, \mathcal O \subset \mathcal P(X)X=∅,O⊂P(X)，若 O\mathcal OO 满足 ∅,X∈O\emptyset,X \in \mathcal O \quad∅,X∈O O1,O2∈O ⟹ O1∩O2∈OO_1,O_2 \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ O_1 \cap O_2 \in...

# 连续映射 对于定义在拓扑空间上的映射，其连续性的定义依赖于邻域 定义 令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)(X,OX​),(Y,OY​) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Yf:X→Y fff 在点 a∈Xa \in Xa∈X 连续 (Continuous)「連続」   ⟺  def∀B∈NY(f(x)) s.t. f−1(B)∈NX(x)\stackrel{def}{\iff} {}^\forall B \in...

# 生成 定义 令 O1,O2\mathcal O_1, \mathcal O_2O1​,O2​ 为集合 XXX 上的两个拓扑 若 O1⊂O2\mathcal O_1 \subset \mathcal O_2O1​⊂O2​，则称 O2\mathcal O_2O2​ 比 O1\mathcal O_1O1​ 强，记作 O2≻O1\mathcal O_2 \succ \mathcal O_1O2​≻O1​。 反之称 O1\mathcal O_1O1​ 比 O2\mathcal O_2O2​ 弱，记作...