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# 环 定义 令 RRR 为非空集合 于 RRR 上定义两个运算： 加法 +:R×R→R, (a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b+:R×R→R, (a,b)↦a+b 乘法 ∗:R×R→R, (a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab∗:R×R→R, (a,b)↦ab 若 RRR 对加法，乘法封闭，且满足： R1 RRR 对加法构成交换群，即 G1 加法满足结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) +...

# 理想 理想是环论中 非常重要 的概念 它类似于群论中的正规子群，允许在环上构造出商环 并且也可以通过研究理想的生成，PID 环，整环等概念来分析环的结构 定义 令 RRR 为环，称非空子集 J⊆RJ \subseteq RJ⊆R 为 RRR 的 左理想，当且仅当 JJJ 成为 (R,+)(R,+)(R,+) 的加法子群 a∈J, r∈R ⟹ ra∈Ja \in J,\ r \in R \ \Longrightarrow \ ra \in Ja∈J, r∈R ⟹ ra∈J 互换乘法可得到 右理想。 称 JJJ 为 RRR...

# 嵌入 对于两个环 RRR 和 R′R'R′，若存在单射环同态 φ:R→R′\varphi : R \to R'φ:R→R′，则原环 RRR 同构于 φ(R)⊆R′\varphi(R) \subseteq R'φ(R)⊆R′，并且 φ(R)\varphi(R)φ(R) 为 R′R'R′ 的子环 这样一来，就可以视为在 R′R'R′ 中分析 RRR 此时称这个单射环同态为 嵌入 (Embedding)「埋め込み」 存在这样的嵌入时，称 环 RRR 可以嵌入到环...

核心内容： ED  ⟹  PID  ⟹  UFD  ⟹  ICD\text{ED} \implies \text{PID} \implies \text{UFD} \implies \text{ICD} ED⟹PID⟹UFD⟹ICD ED：Euclidean 整环，能够做带余除法 PID：主理想整环，理想只需一个生成元 UFD：唯一分解整环，元素分解唯一，算术基本定理成立 ICD：整闭环，包含其分式域中的所有代数整数，所有的根都在环内，没有...

# 域上的乘法群 命题 令 GGG 为群，a∈Ga \in Ga∈G 如果存在正整数 ddd，使得 ad=ea^d = ead=e，则 ord(a)=d  ⟺  ∀p:prime,p∣d:adp≠e\mathrm{ord}(a) = d \iff {}^\forall p:\text{prime}, p \mid d: a^\frac{d}{p} \neq e ord(a)=d⟺∀p:prime,p∣d:apd​=e 证明 (⇒\Rightarrow⇒) 显然 dp<d\frac{d}{p}...