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实变函数与复变函数，这个区别看起来只是自变量和因变量从实数变成复数，或者说从一维变成二维。 但是复变函数和实变函数的差异太大了，复变函数相比起来过于地完美。 解析刚性：局部得到全局 全纯性：一阶可微等价于光滑，等价于解析，可积分 保角性：局部形状不变 这一类性质在实变函数来看是不可想象的。尤其是 Cauchy 积分定理和积分公式，以及延伸出来的留数定理。留数定理甚至强大到不仅能处理复平面的积分，也可以处理实变函数的广义积分，或者是处理无穷级数等等。 这一切不单单只是从 R\mathbb RR 到 R2\mathbb R^2R2 的变化，需要理解的是究竟...
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在有限群论中，Lagrange 定理告诉我们：子群的阶数一定是群阶数的因子。 但是其逆命题不成立：如果 ddd 是 ∣G∣|G|∣G∣ 的因子，群 GGG 未必存在阶数为 ddd 的子群。 最著名的反例是交错群 A4A_4A4​，其阶数为 121212，但它不存在阶数为 666 的子群。 然而，如果这个因子是素数的幂，情况就不同了。Sylow 定理是有限群论中关于子群存在性与数量最强有力的定理，它是分析有限群结构的 “显微镜”。 # p - 群与 Cauchy 定理 在介绍 Sylow 定理之前，先引入两个基础概念。 定义 设 ppp 为素数。如果一个群 GGG 的阶为 pkp^kpk...
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# 陪集 以下设 H≤GH \leq GH≤G（HHH 是 GGG 的子群）。 我们考虑一个同余关系。 定义 对于 a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G，若 a−1b∈Ha^{-1}b \in Ha−1b∈H 则称 aaa 和 bbb 以 HHH 为基准 左同余 (Left Congruence)「左合同」，记作 a≡b(modH)a \equiv b \pmod Ha≡b(modH) 或 $ a \equiv_H b$ 同样的，若 ab−1∈Hab^{-1} \in...
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# 同态映射 定义 令 G,G′G,G'G,G′ 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G'f:G→G′ 若满足 f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b) 则称 fff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')f∈Hom(G,G′) 若在此之上，有 fff 双射，则称 fff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」 要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GGG...
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# 直积与直积分解 # 外直积 直积的概念在集合论中早已出现过。在群论中，我们通过给出直积上的运算来考察其代数结构。 定义 给出群 G1,G2G_1, G_2G1​,G2​。考虑笛卡尔积 G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​。 定义该集合上的二元运算为分量运算： (a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)(a_1, a_2)(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) (a1​,a2​)(b1​,b2​)=(a1​b1​,a2​b2​) 此时，G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​ 构成一个群，称为 G1G_1G1​...