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# 第一基本形式 基本形式是描述曲面性质的常用工具。第一基本形式通常由内积计算获得，可以用于测量长度，角度，面积，以及后面的测地线和高斯曲率。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v)σ(u,v) 为其参数表示，称 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2I := Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2 为 SSS 的第一基本形式 (First Fundamental...

# 曲率定义 有了第一、第二基本形式和形算子，现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3σ(u,v):D→R3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}STp​S 为 SSS 在 p∈S\boldsymbol p \in Sp∈S...

几何中的曲线在分析角度本质上是一个向量函数。 从 R\mathbb{R}R 中取区间 III，用 ttt 表示区间中的变量 那么曲线就可以表示为 c:I→Rn, t↦c(t)\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^n,\ t \mapsto \boldsymbol c(t) c:I→Rn, t↦c(t) # 正则曲线 定义 若对于任意 t∈It \in It∈I c′(t)≠0\boldsymbol c'(t) \neq \boldsymbol...

以下令 SSS 为正则曲面 # 测地线 定义 若 SSS 上的 C∞C^\inftyC∞ 曲线 γ:I→S\boldsymbol \gamma : I \to Sγ:I→S 满足 d2γdt2⊥Tγ(t)S, ∀t∈I\frac{d^2 \boldsymbol \gamma}{dt^2} \perp T_{\boldsymbol \gamma(t)}S,\ \forall t \in I \quad dt2d2γ​⊥Tγ(t)​S, ∀t∈I 则称 γ\boldsymbol...

进入本章内容前，请充分复习线性代数中线性变换与矩阵表示的相关内容 截至目前，微分几何对于曲面的研究主要是通过偏微分的组合，反复对曲面的参数化进行运算，从而分析曲面上的点在各个方向上的变化表现，从而得到曲率等重要性质 但是，除了分析式的运算以外，微分几何也可以利用线性代数作为工具进行分析 本节详细介绍代数式的计算如何在曲面研究中发挥重要作用 # Cartan 标架与联络 本节分析对象为切空间 以下令正则曲面 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 正向参数化 σ:D→S\boldsymbol \sigma: D \to Sσ:D→S 固定曲面上一点...