L'ibrary

分离公理 (Axioms of Separation)「分離公理」 是点集拓扑研究的核心内容 其本质是衡量拓扑空间中分离性的一套准则，由五个层级递进的公理组成 # 分离公理 定义 分离公理 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间 T0T_0T0​ 第零分离公理：Kolmogorov 公理 ∀x,y∈X, x≠y,∃O∈O,s.t.x∈O, y∉O或y∈O, x∉O{}^\forall x, y \in X,\ x \neq y, {}^\exists O \in \mathcal...

本节学习多元函数的路径积分 # 路径 设 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb R^nc:[a,b]→Rn 为一条分段光滑曲线 可以将 c\boldsymbol cc 视为一条从点 c(a)\boldsymbol c(a)c(a) 到点 c(b)\boldsymbol c(b)c(b) 的路径 (Path) 记 与路径 c\boldsymbol cc 方向相反的路径为 c−1\boldsymbol c^{-1}c−1，即...

Cauchy 积分定理是复变函数积分非常重要的结论 这不止指示了积分区域内的奇异点对于积分值的影响，也进一步揭示了可微的复变函数相较于可微的实变函数有根本上的不同 进一步，Cauchy 积分定理也将引出多个重要的结论，甚至是代数学基本定理 Cauchy 积分定理简单来说是 在函数正则的区域内，任意闭路径的积分均为零 # Cauchy 积分定理 Cauchy 积分定理本身是更进一步的课程，例如泛函中讨论的对象。 但是单作为一种解决复变函数积分的技巧，以及导出许多重要结论所用的工具，我们可以只考虑数类特殊情况 让我们从三角剖分开始引入 定理 Cauchy 积分定理（三角形） 令 D⊂CD...

目前我们已经知道，正则性等价于解析性，即在某范围正则的函数可以直接展开为 Taylor 级数。 但是当内部出现可数个奇点时，级数会发散，这导致 Taylor 展开失效 此时，可以通过将函数中非正则的部分抽离，从而实现 正则 + 非正则 的组合 对于正则的部分，可以进行 Taylor 展开 对于非正则的部分，可以进行负幂级数展开，从而收敛 这样的展开方式为 Laurent 展开 Laurent 展开可能性从圆域正则改为了环域正则，即可以允许通过挖孔的方式规避奇点 定义环域 A(a;r,R)={z∈C∣r<∣z−a∣<R}A(a; r, R) = \{z...

在对函数进行类数列的分析前，我们需要先赋予函数一个量化的标准，也就是范数 令集合 SSS 上的 C\mathbb CC 值函数空间为 F(S)\mathscr F(S)F(S) 在 F(S)\mathscr F(S)F(S) 上定义加法和和标量积为 (f+g)(x):=f(x)+g(x)(f + g)(x) := f(x) + g(x) (f+g)(x):=f(x)+g(x) (αf)(x):=αf(x)(\alpha f)(x) := \alpha f(x) (αf)(x):=αf(x) 此时 F(S)\mathscr F(S)F(S)...