L'ibrary

# 嵌入 对于两个环 RRR 和 R′R'R′，若存在单射环同态 φ:R→R′\varphi : R \to R'φ:R→R′，则原环 RRR 同构于 φ(R)⊆R′\varphi(R) \subseteq R'φ(R)⊆R′，并且 φ(R)\varphi(R)φ(R) 为 R′R'R′ 的子环 这样一来，就可以视为在 R′R'R′ 中分析 RRR 此时称这个单射环同态为 嵌入 (Embedding)「埋め込み」 存在这样的嵌入时，称 环 RRR 可以嵌入到环...

# 域上的乘法群 命题 令 GGG 为群，a∈Ga \in Ga∈G 如果存在正整数 ddd，使得 ad=ea^d = ead=e，则 ord(a)=d  ⟺  ∀p:prime,p∣d:adp≠e\mathrm{ord}(a) = d \iff {}^\forall p:\text{prime}, p \mid d: a^\frac{d}{p} \neq e ord(a)=d⟺∀p:prime,p∣d:apd​=e 证明 (⇒\Rightarrow⇒) 显然 dp<d\frac{d}{p}...

本节详细分析多项式环的结构性质 以下默认 RRR 为整环 # 多项式除法 现在让我们考虑多项式环上是否可以定义除法 如素元分解章节所说，整环的带余除法需要 Euclidean 整环的性质支持 虽然系数环 RRR 是整环可以保证多项式环 R[x]R[x]R[x] 也是整环 但是 Euclidean 整环的性质并不能直接传递到多项式环上，还需要对系数有更强的要求：域 此时次数函数 deg⁡\degdeg 可以作为 Euclidean 函数 命题 令 RRR 为域，f,g∈R[x]f,g \in R[x]f,g∈R[x], g≠0g \neq 0g=0 则存在唯一的...

核心内容： ED  ⟹  PID  ⟹  UFD  ⟹  ICD\text{ED} \implies \text{PID} \implies \text{UFD} \implies \text{ICD} ED⟹PID⟹UFD⟹ICD ED：Euclidean 整环，能够做带余除法 PID：主理想整环，理想只需一个生成元 UFD：唯一分解整环，元素分解唯一，算术基本定理成立 ICD：整闭环，包含其分式域中的所有代数整数，所有的根都在环内，没有...

# 环 定义 令 RRR 为非空集合 于 RRR 上定义两个运算： 加法 +:R×R→R, (a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b+:R×R→R, (a,b)↦a+b 乘法 ∗:R×R→R, (a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab∗:R×R→R, (a,b)↦ab 若 RRR 对加法，乘法封闭，且满足： R1 RRR 对加法构成交换群，即 G1 加法满足结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) +...