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# 数と式 # 整式の加法・減法・乗法 計算法則（A,B,CA, B, CA,B,C は整式とする） 交換法則: A+B=B+A,AB=BAA+B=B+A, AB=BAA+B=B+A,AB=BA 結合法則: (A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC) 分配法則: A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC 指数法則（m,nm, nm,n...

# 分析学的基础概念 以下多个概念在不同阶段的分析学中都有广泛出现，因此在此提前给出泛用定义 单调性 称一个映射是 单调递增 (Monotonically Increasing)「単調増加」 的，当且仅当它保有某一种偏序关系 例如数列的单调递增指 n_1 \leq n_2 \implies x_{n_1} \leq x_ 例如函数的单调递增指 x1≤x2  ⟹  f(x1)≤f(x2)x_1 \leq x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)x1​≤x2​⟹f(x1​)≤f(x2​) 称一个映射是 单调递减...

对于实数 aaa，定义其 δ\deltaδ - 邻域为 B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ}B(a, \delta) := \{x \in \mathbb R: |x - a| \lt \delta\} B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ} 如果不强调范围，可以一般称为 邻域 (Neighborhood)「近傍」 # 连续性 定义 令 a∈Ra \in \mathbb Ra∈R，函数 f:I(⊂R)→Rf: I (\subset \mathbb R)...

抽象代数的研究对象是代数结构，而整数集 Z\mathbb ZZ 是最经典、最基础的代数结构（环）。 许多抽象概念（如理想、生成元）的直觉都源于整数。 本节将回顾有理整数环 Z\mathbb ZZ 的基本性质，为后续的群论与环论打下基础。 # 最大公因数与最小公倍数 在整数论中，最大公约数与最小公倍数是两个重要的概念 取整数 a,ba,ba,b（不全为 0），若整数 ddd 满足 d∣ad \mid ad∣a d∣bd \mid bd∣b 则称 ddd 为 a,ba,ba,b 的一个 公约数 在所有公约数中，最大的那个称为 a,ba,ba,b 的 最大公约数...

# 二元关系 +,−,×,÷+,-,\times,\div+,−,×,÷ 等运算符号已经被我们熟知，他们都是将左右两侧的对象进行某种操作后返回一个新的结果。这种关系可以实现更抽象化的推广。 定义 令 XXX 为集合，称 X×XX \times XX×X 的子集 RRR 为集合 XXX 上的 二元关系 (Binary Relation)「二元关系」。 对于 x,y∈Xx, y \in Xx,y∈X，称 xxx 与 yyy 之间 存在关系 R (R-related)「R 関係をもつ」，当且仅当 (x,y)∈R(x, y) \in R(x,y)∈R，记作...