L'ibrary

# 理想 理想是环论中 非常重要 的概念 它类似于群论中的正规子群，允许在环上构造出商环 并且也可以通过研究理想的生成，PID 环，整环等概念来分析环的结构 定义 令 RRR 为环，称非空子集 J⊆RJ \subseteq RJ⊆R 为 RRR 的 左理想，当且仅当 JJJ 成为 (R,+)(R,+)(R,+) 的加法子群 a∈J, r∈R ⟹ ra∈Ja \in J,\ r \in R \ \Longrightarrow \ ra \in Ja∈J, r∈R ⟹ ra∈J 互换乘法可得到 右理想。 称 JJJ 为 RRR...

# 环 定义 令 RRR 为非空集合 于 RRR 上定义两个运算： 加法 +:R×R→R, (a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b+:R×R→R, (a,b)↦a+b 乘法 ∗:R×R→R, (a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab∗:R×R→R, (a,b)↦ab 若 RRR 对加法，乘法封闭，且满足： R1 RRR 对加法构成交换群，即 G1 加法满足结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) +...

概率并不是一个陌生的概念，但是直到目前的学习中，主要涉及到的概率还停留在离散的古典概率上。举例来说就是分析像是掷骰子这样有有限个结果的事件 但是如果考虑这样一个问题：在区间 [0,1][0,1][0,1] 上随机取一个数，取到 12\frac{1}{2}21​ 的概率是多少？ 就会意识到古典概率的局限性 对于这类问题，Kolmogorov 给出了如下的公理化概率定义 # 概率 定义 若 集合 Ω\OmegaΩ 上的子集族 F\mathcal FF 满足 Ω∈F\Omega \in \mathcal FΩ∈F A∈F  ⟹  Ac∈FA...

# 同余 同余关系是一种在整数上的等价关系，为整数论的核心分析要素 取整数 mmm 若整数 a,ba,ba,b 满足：a−ba-ba−b 能被 mmm 整除 则称 aaa 与 bbb 关于模 mmm 同余 (Congruent modulo mmm)，记作 a≡b(modm)a \equiv b \pmod{m} a≡b(modm) 同余关系之间保有加法和乘法，即若 a≡b(modm), a′≡b′(modm)a \equiv b \pmod{m},\ a' \equiv b'...

# 定义 定义 设 nnn 为正整数，定义函数 φ(n)\varphi(n)φ(n) 为小于等于 nnn 且与 nnn 互素的正整数的个数 称 φ\varphiφ 为 Euler 函数 (Euler's Totient Function)「オイラーのトーシェント関数」 命题 设 nnn 的素因子分解为 n=p1k1p2k2⋯pmkmn = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}n=p1k1​​p2k2​​⋯pmkm​​，则 φ(n)=n(1−1p1)(1−1p2)⋯(1−1pm)\varphi(n) = n...

# 最大公约数与最小公倍数 在整数论中，最大公约数与最小公倍数是两个重要的概念 取整数 a,ba,ba,b，若整数 ddd 满足 d∣ad \mid ad∣a d∣bd \mid bd∣b 则称 ddd 为 a,ba,ba,b 的一个 公约数 在所有公约数中，最大的那个称为 a,ba,ba,b 的 最大公约数，记作 gcd⁡(a,b)\gcd(a,b)gcd(a,b) 同样地，取整数 m,nm,nm,n，若整数 lll 满足 m∣lm \mid lm∣l n∣ln \mid ln∣l 则称 lll 为 m,nm,nm,n 的一个...

# RSA 加密 RSA（Rivest-Shamir-Adleman）加密算法是基于大数分解困难性的一种非对称加密算法 其核心思想是利用两个大素数的乘积作为模数，结合模幂运算实现加密和解密 取 p,qp, qp,q 为两个相异大素数，计算模数 n=p⋅qn = p \cdot qn=p⋅q 计算欧拉函数 φ(n)=(p−1)(q−1)\varphi(n) = (p-1)(q-1) φ(n)=(p−1)(q−1) 选择公钥指数 eee，其满足 gcd⁡(e,φ(n))=1\gcd(e, \varphi(n)) = 1 gcd(e,φ(n))=1 公钥对...

# 复数基本表示 复平面上数的表示： 对于复数 z∈Cz \in \mathbb Cz∈C，可以表示为 z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R} z=x+iy,x,y∈R 实部：Re(z)=x\mathrm{Re}(z) = xRe(z)=x 虚部：Im(z)=y\mathrm{Im}(z) = yIm(z)=y。 模长：∣z∣2=Re2(z)+Im2(z)|z|^2 = \mathrm{Re}^2(z) +...

留数定理是积分计算中极其强大的工具，它不止是可以处理复变函数的积分，甚至对于部分实变函数的广义积分，或者是有理型函数，无穷级数等计算也可以发挥重要作用。 # 留数定理 :::private no-icon 定义 取邻域中心 z0∈Cz_0 \in \mathbb Cz0​∈C 和范围 R∈(0,+∞)R \in (0, +\infty)R∈(0,+∞) 设函数 fff 在 D(z0,R)∖{z0}D(z_0, R) \setminus \{z_0\}D(z0​,R)∖{z0​} 上正则，并在 z0z_0z0​ 处进行 Laurent...

级数往往指代的是无穷级数 以下，考虑多维复数域 Cn\mathbb C^nCn，默认其完备 对于其中的元 z=(z1,z2,…,zn)∈Cnz = (z_1, z_2, \ldots, z_n) \in \mathbb C^nz=(z1​,z2​,…,zn​)∈Cn，定义其范数为 ∥z∥=∑k=1n∣zk∣2\|z\| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k|^2} ∥z∥=k=1∑n​∣zk​∣2​ 其中 ∣zk∣|z_k|∣zk​∣ 为复数 zkz_kzk​ 的模长 注意后续中 zkz_kzk​...