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# 同态映射 定义 令 G,G′G,G'G,G′ 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G'f:G→G′ 若 f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b) 则称 fff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')f∈Hom(G,G′) 若在此之上，有 fff 双射，则称 fff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」 要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GGG...

有数个类型比较特殊的拓扑，是基于已有拓扑通过映射变化等方式构造出来的，下面介绍其中重要的几个类型 虽然以下将作为定义去处理它们，但是不难验证在各自的条件下它们都将满足三条拓扑公理，本章将不给出具体证明而直接陈述其为拓扑 # 相对拓扑 定义 令 (X,d)(X,d)(X,d) 为拓扑空间，A⊂X,A≠∅A \subset X,A \neq \emptysetA⊂X,A=∅，那么 OA:={O∩A∣O∈O}\mathcal O_A := \{ O \cap A \mid O \in \mathcal O...

# 紧性 定义 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset XA⊂X 对于 XXX 的子集族 {Uλ∣λ∈Λ}\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}{Uλ​∣λ∈Λ}，若 A⊂⋃λ∈ΛUλA \subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}A⊂λ∈Λ⋃​Uλ​，则称...

我们研究拓扑空间中的连续函数，连续性的定义依赖于邻域的概念 定义（连续） 令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)(X,OX​),(Y,OY​) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Yf:X→Y fff 在 a∈Xa \in Xa∈X 连续   ⟺  def\stackrel{def}{\iff}⟺def​ ∀B∈NY(f(x)) s.t. f−1(B)∈NX(x)\forall B \in \mathcal{N}_Y(f(x)) \ s.t....

# 连通性 定义 在拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 中，称 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 是 连通的 (connected)「連結」 等价于 O∩F={∅,X}\mathcal O \cap \mathcal F = \{\emptyset,X\} O∩F={∅,X} 这个定义在说的其实是，XXX 中不存在非平凡的既是开集又是闭集的子集 如果一个拓扑空间非连通，那么就可以取到一个非平凡的子集 UUU，使得 UUU 既开又闭 那么显然取 V=UcV=U^cV=Uc...

# 中心极限定理 本章介绍贯穿整个概统核心的中心极限定理，这个定理是我们能够利用标本去逼近总体的基石。 定理（中心极限定理 Central Limit Theorem） 令 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_nX1​,X2​,…,Xn​ 为来自总体 XXX 的 nnn 个独立同分布的随机变量，且 E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2<∞E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2 < \inftyE(Xi​)=μ,D(Xi​)=σ2<∞ 则当 nnn...

# 标本分布 引入标本分布前，需要明确几个概念 总体 (Population)「母集団」：研究对象的全体 总体平均数 (Population Mean)「母平均」：总体中所有个体的平均数 总体方差 (Population Variance)「母分散」：总体中所有个体的方 样本 (Sample)「標本」：从总体中抽取的一部分个体 标本 (Statistic)「標本統計量」：从样本中计算得到的量 参数...

# 概率 # 概率基本定义与性质 定义（σ 代数） 若 集合 Ω\OmegaΩ 上的子集族 F\mathcal FF 满足 Ω∈F\Omega \in \mathcal FΩ∈F A∈F  ⟹  Ac∈FA \in \mathcal F \implies A^c \in \mathcal FA∈F⟹Ac∈F 可数个 An∈F  ⟹  ⋃i=1∞Ai∈FA_n \in \mathcal F \implies \bigcup\limits_{i=1}^\infty...

# 第一基本形式 基本形式是描述曲面性质的常用工具。第一基本形式通常由内积计算获得，可以用于测量长度，角度，面积，以及后面的测地线和高斯曲率。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为正则三维曲面，σ(u,v)\sigma(u,v)σ(u,v) 为其参数表示，称 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2I := Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 I:=Edu2+2Fdudv+Gdv2 为 SSS 的第一基本形式 (First Fundamental...

# 曲率定义 有了第一、第二基本形式和形算子，我们现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3σ(u,v):D→R3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}STp​S 为 SSS 在 p∈S\boldsymbol p \in Sp∈S...