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从 Rolle 定理出发，达到的一个最重要的阶段性成果，必然是 Taylor 定理 在经历过数学分析的学习后，可以明确一个事情：天底下的函数千奇百怪，各自的性质太难研究了。 如果能把所有的函数都统一成一个表达方式，那会在分析意义上非常方便。 Taylor 定理正是这样的一个工具，它提供了幂级数展开的方法 # Taylor 定理 定理 Taylor 定理 ——Lagrange 余项 令 x≠0x \neq 0x=0，函数 fff 在 [a,x][a, x][a,x] 上 nnn 阶可微分 则存在 ξ∈(a,x)\xi \in (a, x)ξ∈(a,x)...

# 数列的收敛 对于一个自然数集到实数的映射 x:N→R,n↦x(n)x: \mathbb N \to \mathbb R, n \mapsto x(n) x:N→R,n↦x(n) 可以等价地将每一个元写作 xn:=x(n)x_n := x(n) xn​:=x(n) 那么，记其构成的值域 {x1,x2,x3,…}\{x_1, x_2, x_3, \ldots\} {x1​,x2​,x3​,…} 为一个 数列 (sequence)「数列」，特别地如果强调取值为实数，可以称为实数列，也就是说 {xn}⊂R\{x_n\}...

# 上极限与下极限 某些情况下，经典极限 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_nn→∞lim​xn​ 的存在条件过于苛刻。 极限要求序列最终无限逼近单一确定的值，但分析学中存在大量不收敛的振荡数列 为了对所有数列的行为进行分析，可以引入上极限和下极限的概念 任意给出一个实数列 {xn}\{x_n\}{xn​}，分别定义其靠后的上确界序列 SnS_nSn​ 和下确界序列 InI_nIn​： Sn=sup⁡k≥nxk,In=inf⁡k≥nxkS_n = \sup_{k \ge n}...

从直观上来说，积分指示了函数图像与 xxx 轴之间的面积，但是随着本科数学对函数的抽象化，高中阶段给出的积分定义已经无法满足分析学的需求了，为了解决 “什么样的函数可以积分” 这个问题，最广泛使用的是由 Riemann 给出的定义 # 上下积分 积分最核心的思想无疑是切分，计算，重组。 给出实数 R\mathbb RR 的区间 I=[a,b]I=[a, b]I=[a,b] 我们想要对这个区间进行严格的切分 不难意识到：只要决定了分割的点位，分割方式就是唯一的，因此等价于取一个数列 {xn}⊂I\{x_n\} \subset...

# 实数的构成 通常来说，人们对 “实数” 的概念是一根数轴。在接触到数学分析之前，许多结论看起来是理所当然的，例如 显然 y=xn−ay = x^n - ay=xn−a 与 y=0y = 0y=0 有交点 x = \sqrt[n] 显然 lim⁡n→∞1n=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0n→∞lim​n1​=0 为了真正做到分析，需要彻底了解什么是实数，实数具有什么样的性质 第一个要考虑的问题就是...