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# 商环 # 理想 回想商群的构造。我们其实是想在群上面找一个性质良好的子集（正规子群），从而能使得原本的群可以以一种类似除法的关系构造出多个等价类。然后称这些等价类全体为商群。 商环也是一样的，我们需要找到一个类似的，性质良好的子集来作 “除法”。但是注意到环和群最本质的区别是运算的数量多了一个。正规子群这个要求显然是不充分的。我们需要找一个更好的性质，这就是理想。 我们称满足以下性质的，环 RRR 的非空子集 JJJ 为一个 左理想 (Left Ideal「左イデアル」) a,b∈J⇒a+b∈Ja,b \in J \Rightarrow a + b \in...

# 陪集 以下 H≤GH \leq GH≤G 我们考虑一个同余关系 定义 对于 a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G，若 a−1b∈Ha^{-1}b \in Ha−1b∈H 则称 aaa 和 bbb 以 HHH 为基准 左同余 (Left Congruence)「左合同」，记作 a≡b (mod H)a \equiv b \ (mod \ H)a≡b (mod H) 或 $ a \equiv_H b$ 同样的，若...

这是一个非常有意思的东西 Hamilton 四元数 (Hamilton Quaternion)「四元数」 指代的一般是 1,i,j,k1, i, j, k1,i,j,k 四个基元，并且其平方满足： i2=j2=k2=−1i^2 = j^2 = k^2 = -1 i2=j2=k2=−1 相互乘积关系，注意其乘积不可交换 ij=k,jk=i,ki=jji=−k,kj=−i,ik=−jij = k, jk = i, ki = j\\ ji = -k, kj = -i, ik =...

# 多项式环 以下令 RRR 为交换环 我们希望在抽象环上考虑多项式结构 令 P:={f:N∪{0}→R}P := \{ f:\mathbb N \cup \{0\} \to R \}P:={f:N∪{0}→R}，此时 PPP 构成交换环 来看一下 fff 的形式 fff 是一个将非负整数映射到 RRR 的函数，所以我们其实可以把 fff 看成是一个数列 f∈P, n∈N∪{0},f(n)=an∈Rf \in P,\ n \in \mathbb N \cup \{0\}, f(n)...

考虑一个看起来有些神奇的情况： 如果环中两个运算的单位元一致，即 1=01=01=0，那么由于 ∀a∈R: a=1a=0a=0\forall a \in R:\ a = 1a = 0a = 0∀a∈R: a=1a=0a=0 所以这个环中只有 000 一个元，称为 零环 (Zero Ring)「零環」 注意，我们接下来考虑的环一律默认非零环。 先定义两类比较特殊的环中的元 第一个是单元，单元可以简单理解为 “性质特别好的成员” 如果一个元 a∈Ra \in Ra∈R 具备乘法逆元，那么 a−1a^{-1}a−1 具备意义，并且称其为 单元...

# 环的定义 定义 令 RRR 为非空集合 于 RRR 上定义两个运算（封闭）： 加法 +:R×R→R, (a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b+:R×R→R, (a,b)↦a+b 乘法 ∗:R×R→R, (a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab∗:R×R→R, (a,b)↦ab 若 RRR 对加法，乘法封闭，且满足： 加法交换群 RRR 对加法构成交换群 乘法结合律 RRR...

# 群的定义 群其实是要求一个集合要能附带（封闭）某一种性质良好运算，也就是说：运算封闭，结合，可逆并且有单位元。 定义 对于一个集合 XXX 和一个二元运算 ∗:X×X→X*:X \times X \rightarrow X∗:X×X→X，如果满足： 结合律 G1 ∀a,b,c∈X,s.t.(a∗b)∗c=a∗(b∗c)\forall a,b,c \in X, \quad s.t. \quad (a*b)*c = a*(b*c)∀a,b,c∈X,s.t.(a∗b)∗c=a∗(b∗c) 单位元 G2...

# 直积 直积的概念在集合论中早已出现过，在群论中我们关注集合作为运算的结构，所以我们可以通过给出直积上的运算来考察诸性质 给出群 G1,G2G_1,G_2G1​,G2​ 和直积 G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​ 如果我们定义对于这个集合上的两个元 (a1,a2),(b1,b2)(a_1,a_2),(b_1,b_2)(a1​,a2​),(b1​,b2​) 之间的运算（写作积的形式）为 (a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)(a_1,a_2)(b_1,b_2) =...

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