# 拓扑空间 定义 令 X≠∅,O⊂P(X)X \neq \emptyset, \mathcal O \subset \mathcal{P}(X)X=∅,O⊂P(X)，若 O\mathcal OO 满足 ∅,X∈O\emptyset,X \in \mathcal O \quad∅,X∈O O1,O2∈O ⟹ O1∩O2∈OO_1,O_2 \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ O_1 \cap O_2 \in...

对于在微分几何中常见的数种曲面进行介绍与计算 以下 S=f({0}),σ:D→SS = f(\{0\}),\quad \boldsymbol \sigma: D \to SS=f({0}),σ:D→S 曲率计算仅考虑 σ(D)\boldsymbol \sigma(D)σ(D) 计算包含项目 曲面方程与参数表示 正向法向量场 第一基本形式 第二基本形式 曲率 # 球面 Sphere # 曲面方程与参数表示 r>0,D=(0,π)×(0,2π)r > 0,\quad D =...

# 分式域 令 RRR 为整环，构造 R×R×R \times R^\timesR×R× 上的等价关系 (a,b)∼(c,d)  ⟺  ad=bc(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc (a,b)∼(c,d)⟺ad=bc 简要验证： 自反性：显然成立 对称性：若 (a,b)∼(c,d)(a,b) \sim (c,d)(a,b)∼(c,d)，则 ad=bcad = bcad=bc，则 cb=dacb = dacb=da，所以 (c,d)∼(a,b)(c,d) \sim (a,b)(c,d)∼(a,b) 传递性：若...

# 环同态与同构 环同态，环同构的部分与群论中的同态，同构高度相似，很多证明基本上形式都一致 定义 令 R,R′R, R'R,R′ 为环 若映射 φ:R→R′\varphi : R \to R'φ:R→R′ 满足 ∀a,b∈R, φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\forall a,b \in R,\ \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)∀a,b∈R, φ(a+b)=φ(a)+φ(b) ∀a,b∈R, φ(ab)=φ(a)φ(b)\forall...

以下默认令 RRR 为交换环 # 形式幂级数环 多项式的概念在环上可以得到重要的推广 令 P:={f:N∪{0}→R}P := \{ f:\mathbb N \cup \{0\} \to R \}P:={f:N∪{0}→R}，此时 PPP 构成交换环 PPP 中的元实为非负整数系数到环 RRR 中元的映射，所以其可以被当作数列处理 对于 f∈P, n∈N∪{0}f \in P,\ n \in \mathbb N \cup \{0\}f∈P, n∈N∪{0} 令...

Vim 是 Linux 上常用的文本编辑器，但是它的使用方法和很多现代编辑器不同，初学者可能会觉得使用困难 最好的学习 Vim 的方式是查看官方的内置帮助文件 vim:help# Vim 不同于一般编辑器的直接输入，Vim 存在使用模式，一般有如下四个 正常模式 (Normal mode) 插入模式 (Insert mode) 可视模式 (Visual mode) 命令模式 (Command mode) 编辑器的底部会显示当前所处的模式 -- INSERT -- 表示插入模式 -- VISUAL -- 表示可视模式 : 表示命令模式 没有任何标识表示正常模式 # 正常模式 Vim...

# 同态映射 定义 令 G,G′G,G'G,G′ 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G'f:G→G′ 若 f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b) 则称 fff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')f∈Hom(G,G′) 若在此之上，有 fff 双射，则称 fff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」 要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GGG...

相较于 Taylor 展开，Laurent 展开允许函数在某一圆盘范围内有奇点存在 即只需要在环域内解析即可 定义环域 A(a;r,R)={z∈C∣r<∣z−a∣<R}A(a; r, R) = \{z \in \mathbb C \mid r \lt |z - a| \lt R\} A(a;r,R)={z∈C∣r<∣z−a∣<R} 其中 0≤r<R≤+∞0 \leq r \lt R \leq...

通过对 R\mathbb RR 上的初等函数进行原点处的 Taylor 展开，即 Maclaurin 展开，可以自然地将其推广到复数域 C\mathbb CC，并以幂级数的形式存在 # 指数函数 定义 对于 z∈Cz \in \mathbb Cz∈C，称 exp⁡(z)=ez=∑n=0∞znn!\exp(z) = e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} exp(z)=ez=n=0∑∞​n!zn​ 为 复指数函数 根据 D'Alembert...

# 解析性 定义 令 D⊂CD \subset \mathbb CD⊂C 为开集，f:D→Cf: D \to \mathbb Cf:D→C 若对点 z0∈Dz_0 \in Dz0​∈D 存在一个收敛半径为 r>0r > 0r>0 的幂级数 ∑n=0∞anzn\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n∑n=0∞​an​zn，以及一个正数 0<e<r0 < e < r0<e<r 使得对任意...