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# 紧性 从直观上讲，紧性是有限性这一概念在拓扑空间中的推广。它描述了一类空间，这类空间虽然包含无限多个点，但在某种本质的拓扑意义上，它们表现得像是一个有限集。 在给出紧性的定义之前，需要先引入覆盖的概念 定义 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset XA⊂X 对于 XXX 的子集族 {Uλ}λ∈Λ\{ U_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}{Uλ​}λ∈Λ​，若 A⊂⋃λ∈ΛUλA \subset...

# 拓扑空间 定义 令 X≠∅,O⊂P(X)X \neq \emptyset, \mathcal O \subset \mathcal{P}(X)X=∅,O⊂P(X)，若 O\mathcal OO 满足 ∅,X∈O\emptyset,X \in \mathcal O \quad∅,X∈O O1,O2∈O ⟹ O1∩O2∈OO_1,O_2 \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ O_1 \cap O_2 \in...

# 生成 定义 令 O1,O2\mathcal O_1, \mathcal O_2O1​,O2​ 为集合 XXX 上的两个拓扑 若 O1⊂O2\mathcal O_1 \subset \mathcal O_2O1​⊂O2​，则称 O2\mathcal O_2O2​ 比 O1\mathcal O_1O1​ 强，记作 O2≻O1\mathcal O_2 \succ \mathcal O_1O2​≻O1​。 反之称 O1\mathcal O_1O1​ 比 O2\mathcal O_2O2​ 弱，记作...

# 回转角 令 D⊂R2D \subset \mathbb R^2D⊂R2 为开集 取 DDD 上的 Riemannian 度规 ggg (ξ,η)q=gq(ξ,η),∥ξ∥q=(ξ,ξ)q(\xi, \eta)_{\boldsymbol q} = g_{\boldsymbol q}(\xi, \eta), \quad \|\xi\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{(\xi, \xi)_{\boldsymbol...

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# 域上的乘法群 命题 令 GGG 为群，a∈Ga \in Ga∈G 如果存在正整数 ddd，使得 ad=ea^d = ead=e，则 ord(a)=d  ⟺  ∀p:prime,p∣d:adp≠e\mathrm{ord}(a) = d \iff {}^\forall p:\text{prime}, p \mid d: a^\frac{d}{p} \neq e ord(a)=d⟺∀p:prime,p∣d:apd​=e 证明 (⇒\Rightarrow⇒) 显然 dp<d\frac{d}{p}...

# 连续映射 对于定义在拓扑空间上的映射，其连续性的定义依赖于邻域 定义 令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y)(X,OX​),(Y,OY​) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Yf:X→Y fff 在点 a∈Xa \in Xa∈X 连续 (Continuous)「連続」   ⟺  def∀B∈NY(f(x)) s.t. f−1(B)∈NX(x)\stackrel{def}{\iff} {}^\forall B \in...

我们在研究一个行列时，实际上是在研究其所蕴含的信息。 很多时候，我们并不关注内部的一些大数字，而是在意成分的互相关系。 所以在面对一些复杂的矩阵时，一个思路是被期待的：是否可以让复杂的行列通过某种变换，成为一个简单漂亮的行列，并且还可以尽可能地保留原矩阵的信息？ 这样的变换方法被称为 对角化 请注意：特征值的讨论对象仅局限于 方阵，对于非方阵无法进行特征值的讨论，但是可以进行奇异值分解（SVD） 以下取系数域 KKK 为 R\mathbb RR 或 C\mathbb CC # 特征值 为了解答第一个问题：到底什么样的信息是被需要的，需要引入以下内容 定义 令 AAA 为系数域...

# 一元方差分析 ANOVA 对于多个总体数据，有时需要考察它们的均值是否存在显著差异 例如，比较不同教学方法对学生成绩的影响，或者不同药物对患者康复的效果 方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 是一种用于比较多个样本均值是否存在显著差异的统计方法 其基本思想是将总变异分解为组间变异和组内变异两部分，通过比较这两部分的变异来判断组均值是否存在显著差异 考虑 kkk 个正态总体，总体方差可以未知，此处假设相等，即 Πi:N(μi,σ2)\Pi_i: N(\mu_i,...

# Riemannian 度规 以下令开集 D⊂R2D \subset \mathbb R^2D⊂R2 取 DDD 上的定点 q=(uv)∈D\boldsymbol q = \binom{u}{v} \in Dq=(vu​)∈D，构造平面上的切空间 TqD=R2T_{\boldsymbol q}D = \mathbb R^2Tq​D=R2 取正交归一标准基底 e1=(10),e2=(01)\boldsymbol e_1 = \binom{1}{0}, \quad \boldsymbol e_2 =...