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Laplace 变换是一种将时间域的函数转换为复频域函数的积分变换方法 尤其可以应用于解线性常微分方程组 利用 Laplace 变换的性质 线性 将微分阶数转为代数阶数 可逆 可以非常容易地解决线性常微分方程组的初值问题 # 定义 定义 令 f(t)f(t)f(t) 为定义在 t≥0t \geq 0t≥0 上的函数，sss 为复变量 则 f(t)f(t)f(t) 的 Laplace 变换 (Laplace Transform) 定义为 s∈R,L[f(t)](s):=∫0+∞f(t)e−st dts \in \mathbb R,\qquad...

# 基础文本形式字母表 字母 LaTeX 代码 字母 LaTeX 代码 A a A a B b B b C c C c D d D d E e E e F f F f G g G g H h H h I i I i J j J j K k K k L l L l M m M m N n N n O o O o P p P p Q q Q q R r R r S s S s T t T t U u U u V v V v W w W w X x X x Y y Y y Z z Z z # 数学模式下字母表（斜体） 字母 LaTeX 代码 字母 LaTeX...

对于在微分几何中常见的数种曲面进行介绍与计算 以下 S=f({0}),σ:D→SS = f(\{0\}),\quad \boldsymbol \sigma: D \to SS=f({0}),σ:D→S 曲率计算仅考虑 σ(D)\boldsymbol \sigma(D)σ(D) 计算包含项目 曲面方程与参数表示 正向法向量场 第一基本形式 第二基本形式 曲率 # 球面 Sphere # 曲面方程与参数表示 r>0,D=(0,π)×(0,2π)r > 0,\quad D =...

Vim 是 Linux 上常用的文本编辑器，但是它的使用方法和很多现代编辑器不同，初学者可能会觉得使用困难 最好的学习 Vim 的方式是查看官方的内置帮助文件 vim:help# Vim 不同于一般编辑器的直接输入，Vim 存在使用模式，一般有如下四个 正常模式 (Normal mode) 插入模式 (Insert mode) 可视模式 (Visual mode) 命令模式 (Command mode) 编辑器的底部会显示当前所处的模式 -- INSERT -- 表示插入模式 -- VISUAL -- 表示可视模式 : 表示命令模式 没有任何标识表示正常模式 # 正常模式 Vim...

# 同态映射 定义 令 G,G′G,G'G,G′ 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G'f:G→G′ 若 f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b) 则称 fff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')f∈Hom(G,G′) 若在此之上，有 fff 双射，则称 fff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」 要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GGG...

通过对 R\mathbb RR 上的初等函数进行原点处的 Taylor 展开，即 Maclaurin 展开，可以自然地将其推广到复数域 C\mathbb CC，并以幂级数的形式存在 # 指数函数 定义 对于 z∈Cz \in \mathbb Cz∈C，称 exp⁡(z)=ez=∑n=0∞znn!\exp(z) = e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} exp(z)=ez=n=0∑∞​n!zn​ 为 复指数函数 根据 D'Alembert...

曲率是微分几何研究的中心内容 以下令曲线 c:I→R3\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^3c:I→R3 为弧长参数化下的正则曲线 # 平面曲线 平面曲线的切向量 c′(s)\boldsymbol c'(s)c′(s) 由曲线的移动方向唯一确定，但是法向量有两个方向可取 通常来说，固定选择右手系的方向，即切向量逆时针旋转 90∘90^\circ90∘ 的方向为法向量的方向 记 t(s)=c′(s)\boldsymbol t(s) = \boldsymbol...

# 拉回 设 U⊂Rn, V⊂RmU\subset\mathbb R^n, \ V\subset\mathbb R^mU⊂Rn, V⊂Rm 为开集，坐标分别为 (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n)(x1​,…,xn​) 与 (y1,…,ym)(y_1, \dots, y_m)(y1​,…,ym​)。取 C∞C^\inftyC∞ 映射 φ=(φ1φ2⋮φn):V→U,\boldsymbol\varphi= \begin{pmatrix} \varphi_1...

几何中的曲线在分析角度本质上是一个向量函数。 从 R\mathbb{R}R 中取区间 III，用 ttt 表示区间中的变量 那么曲线就可以表示为 c:I→Rn, t↦c(t)\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^n,\ t \mapsto \boldsymbol c(t) c:I→Rn, t↦c(t) # 正则曲线 定义 若对于任意 t∈It \in It∈I c′(t)≠0\boldsymbol c'(t) \neq \boldsymbol...

# 曲率定义 有了第一、第二基本形式和形算子，现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。 定义 令 (S,n)(S,\boldsymbol n)(S,n) 为有向正则三维曲面，σ(u,v):D→R3\boldsymbol \sigma(u,v): D \to \mathbb R^3σ(u,v):D→R3 为其正向参数表示，TpST_{\boldsymbol p}STp​S 为 SSS 在 p∈S\boldsymbol p \in Sp∈S...