# 二项分布 # 定义 记事件 AAA 在 nnn 次实验中发生 kkk 次的概率为 P(X=k)P(X=k)P(X=k) 则此时随机变量 XXX 的分布称为 二项分布 (Binomial Distribution)「二項分布」，记为 X∼B(n,p)X \sim B(n,p)X∼B(n,p) P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k 其中 (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} =...

# 随机变量 定义 若实数值映射 X:Ω→RX:\Omega \to \mathbb RX:Ω→R 对任意 x∈Rx \in \mathbb Rx∈R 满足 {ω∈Ω∣X(ω)≤x}∈F\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq x\} \in \mathcal F {ω∈Ω∣X(ω)≤x}∈F 则称 XXX 为 (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal F, P)(Ω,F,P) 上的 随机变量 (Random...

概率并不是一个陌生的概念，但是直到目前的学习中，主要涉及到的概率还停留在离散的古典概率上。举例来说就是分析像是掷骰子这样有有限个结果的事件 但是如果考虑这样一个问题：在区间 [0,1][0,1][0,1] 上随机取一个数，取到 12\frac{1}{2}21​ 的概率是多少？ 就会意识到古典概率的局限性 对于这类问题，Kolmogorov 给出了如下的公理化概率定义 # 概率 定义 若 集合 Ω\OmegaΩ 上的子集族 F\mathcal FF 满足 Ω∈F\Omega \in \mathcal FΩ∈F A∈F  ⟹  Ac∈FA...

# 样本 统计学中，通常想要研究一个不可直接测量的总体性质，例如全球人口的平均身高或者是寿命方差 通常考虑的方法是：从总体中选取一部分可测的群体，分析此群体的性质从而间接研究总体的性质 涉及到总体的概念有 参数 (Parameter)「母数」：描述总体的统计量 总体 (Population)「母集団」：研究对象的全体 总体分布 (Population Distribution)「母分布」：总体中随机变量的概率分布情况 总体平均 (Population Mean)「母平均」：总体中所有个体的平均数 总体方差 (Population...

统计推断 (Statistical Inference) 是数理统计的核心内容 目前通过样本的选取与样本量的计算，可以得到 样本平均 X‾n=1n∑i=1nXi\overline X_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_iXn​=n1​∑i=1n​Xi​ 样本方差 s2=1n∑i=1n(Xi−X‾n)2s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline...

# 二维下的概率分布 当存在两个不同的随机变量 XXX 和 YYY 时，通过将其组成向量，可以在平面 R2\mathbb R^2R2 上描述其分布 便于理解，首先考虑 X,YX, YX,Y 都是离散型随机变量，则各自拥有对应的概率取值 P(X=xi)=pi,P(Y=yj)=qjP(X = x_i) = p_i,\quad P(Y = y_j) = q_j P(X=xi​)=pi​,P(Y=yj​)=qj​ 那么在二维平面下的概率就可以对应为 P((XY)=(xiyj))=rijP(\begin{pmatrix} X \\ Y...

# 均匀分布 # 定义 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上，如果随机变量 XXX 的概率处处相等 则称随机变量 XXX 服从区间 [a,b][a,b][a,b] 上的 均匀分布 (Uniform Distribution)「均勻分布」，记为 X∼U(a,b)X \sim U(a,b)X∼U(a,b) f(x)={1b−a,a≤x≤b0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, &...

统计学本质上的目的是去尽可能精确的估计总体的参数 例如我们想要研究全球人类的平均身高 最常见的方法就是随机抽取大量样本，然后进行估算 假设总体的平均身高为 μ\muμ，抽取标本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_nX1​,X2​,…,Xn​，计算标本的平均身高 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_iX=n1​i=1∑n​Xi​ 自然我们期待 X‾\overline{X}X 能够尽可能接近...

# 连通性 定义 在拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 中，称 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 是 连通的 (connected)「連結」 等价于 O∩F={∅,X}\mathcal O \cap \mathcal F = \{\emptyset,X\} O∩F={∅,X} 这个定义在说的其实是，XXX 中不存在非平凡的既是开集又是闭集的子集 如果一个拓扑空间非连通，那么就可以取到一个非平凡的子集 UUU，使得 UUU 既开又闭 那么显然取 V=UcV=U^cV=Uc...

有数个类型比较特殊的拓扑，是基于已有拓扑通过映射变化等方式构造出来的，下面介绍其中重要的几个类型 虽然以下将作为定义去处理它们，但是不难验证在各自的条件下它们都将满足三条拓扑公理，本章将不给出具体证明而直接陈述其为拓扑 # 相对拓扑 定义 令 (X,d)(X,d)(X,d) 为拓扑空间，A⊂X,A≠∅A \subset X,A \neq \emptysetA⊂X,A=∅，那么 OA:={O∩A∣O∈O}\mathcal O_A := \{ O \cap A \mid O \in \mathcal O...