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# 集合 定义 将满足特定条件的对象的全体称为 集合 (Set)「集合」，构成集合的每一个对象称为该集合的 元 (Element)「元」。 若 aaa 是集合 AAA 的元，记作 a∈Aa \in Aa∈A；若 aaa 不是集合 AAA 的元，记作 a∉Aa \not\in Aa∈A。 若两个集合 A,BA, BA,B 由 完全相同的元 构成，则称它们相等，记作 A=BA = BA=B。 示例 常用的数集符号： N\mathbb NN：全体自然数集合（注：今后取 0∉N0 \not\in \mathbb...

“群是一个可以回溯的世界” 不妨在具有一定群论的基础后，回过头来看看这句话的含义。 # 群的定义 群其实是要求一个集合要能附带（封闭）某一种性质良好运算，也就是说：运算封闭，结合，可逆并且有单位元。 定义 对于一个集合 GGG 和一个二元运算 ∗:G×G→G*:G \times G \rightarrow G∗:G×G→G，如果满足以下公理： 结合律：∀a,b,c∈G: (a∗b)∗c=a∗(b∗c){}^\forall a,b,c \in G:\ (a*b)*c =...

在进入微分几何的复杂计算分析之前，熟练掌握向量之间的基本运算性质是非常有必要的。 微分几何大部分的情况下就是在对你计算能力的考验 Euclidean 空间上的内积理应非常熟悉， 以下仅作复习提醒 a⋅b:=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\displaystyle\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b := \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n...

在开始之前，默认以下概念 有限集合，是指其元的个数为有限的集合 无限集合，是指其元的个数为无限的集合 # 有限集合的大小 对于有限集合来说，衡量其大小是非常容易的，因为只需要数出元素的个数，基于自然数的大小进行比较即可 一个有限集 XXX 中元素的个数常常记作 #X\#X#X，显然 #∅=0\#\emptyset = 0#∅=0。 一个重要的结论是，有限集合的元素数量可以有双射映射来衡量 命题 令 X,YX,YX,Y 为非空集合，且 XXX 有限，此时以下等价 存在从 XXX 到 YYY 的双射映射 YYY 也是有限集合，且 #X=#Y\#X =...

# Zorn 引理 Zorn 引理是数学中多处可见的重要结论 其证明在初学阶段会稍显复杂，不必强求全部理解 对于顺序集 (X,≤)(X, \leq)(X,≤) 的子集 C⊆XC \subseteq XC⊆X，称 CCC 为 链 (Chain)「鎖」，当且仅当对于任意 a,b∈Ca, b \in Ca,b∈C，均有 a≤ba \leq ba≤b 或 b≤ab \leq ab≤a 成立，即可比较 定义 令 (X,≤)(X, \leq)(X,≤) 为非空偏序集 若任意链均存在上界，则称该偏序集为 归纳的...