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通过对 R\mathbb RR 上的初等函数进行原点处的 Taylor 展开，可以自然地将其推广到复数域 C\mathbb CC，并以幂级数的形式存在 本节讨论以下几种常见的复初等函数，其中 z∈Cz \in \mathbb Cz∈C： 指数函数 eze^zez 三角函数 sin⁡z, cos⁡z\sin z,\ \cos zsinz, cosz 双曲函数 sinh⁡z, cosh⁡z\sinh z,\ \cosh zsinhz, coshz 对数函数 log⁡z\log zlogz 两种幂函数...

导入复变函数的积分，需要按顺序导入以下内容 复数值的实数变量函数在线段（区间）上的积分 复变函数 fff 沿复平面上的 C1C^1C1 曲线路径积分 复变函数沿路积分 # 区间积分 对于 复数值 函数 f(t):[a,b]→Cf(t):[a,b] \to \mathbb Cf(t):[a,b]→C，由于实部虚部分别为实变函数，可以通过实变积分延拓 定义 若 Ref(t), Imf(t)\mathrm{Re} f(t),\ \mathrm{Im} f(t)Ref(t), Imf(t) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上可积，则称复数值...

# 复数基本表示 复平面上数的表示： 对于复数 z∈Cz \in \mathbb Cz∈C，可以表示为 z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R} z=x+iy,x,y∈R 实部：Re(z)=x\mathrm{Re}(z) = xRe(z)=x 虚部：Im(z)=y\mathrm{Im}(z) = yIm(z)=y。 模长：∣z∣2=Re2(z)+Im2(z)|z|^2 = \mathrm{Re}^2(z) +...

# 复平面上的距离拓扑 研究空间结构需要引入拓扑，复数的拓扑结构可以用欧几里得距离自然构造出距离拓扑 首先是距离的定义，对于复数 z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C}z1​,z2​∈C，定义它们之间的距离为 d(z1,z2)=∣z1−z2∣d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| d(z1​,z2​)=∣z1​−z2​∣ 此时 ddd 满足距离公理 并且映射 J:R2→C,J(x,y)=x+iyJ:\mathbb R^2 \to \mathbb C, J(x,y) = x + iyJ:R2→C,J(x,y)=x+iy 是...

留数定理是积分计算中极其强大的工具，它不止是可以处理复变函数的积分，甚至对于部分实变函数的广义积分，或者是有理型函数，无穷级数等计算也可以发挥重要作用。 # 留数定理 :::private no-icon 定义 取邻域中心 z0∈Cz_0 \in \mathbb Cz0​∈C 和范围 R∈(0,+∞)R \in (0, +\infty)R∈(0,+∞) 设函数 fff 在 D(z0,R)∖{z0}D(z_0, R) \setminus \{z_0\}D(z0​,R)∖{z0​} 上正则，并在 z0z_0z0​ 处进行 Laurent...