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留数定理是积分计算中极其强大的工具，它不止是可以处理复变函数的积分，甚至对于部分实变函数的广义积分，或者是有理型函数，无穷级数等计算也可以发挥重要作用。 # 留数定理 :::private no-icon 定义 取邻域中心 z0∈Cz_0 \in \mathbb Cz0​∈C 和范围 R∈(0,+∞)R \in (0, +\infty)R∈(0,+∞) 设函数 fff 在 D(z0,R)∖{z0}D(z_0, R) \setminus \{z_0\}D(z0​,R)∖{z0​} 上正则，并在 z0z_0z0​ 处进行 Laurent...

数个复分析中的重要定理均可由 Cauchy 积分定理导出 # Morera 定理 在 Cauchy 积分定理的推导过程中，我们首先证明了在三角剖分的情况，即 在正则的区域内，任意闭三角形的积分为零 而这个结论的反方向 若区域内任意闭三角形的积分为零，则该区域内函数正则 作为著名的 Morera 定理，实际上也成立 定理 Morera 定理 令 D⊂CD \subset \mathbb CD⊂C 为开集，f:D→Cf:D \to \mathbb Cf:D→C 连续 若对于任意闭三角形 △⊂D\triangle \subset...

级数往往指代的是无穷级数 以下，考虑多维复数域 Cn\mathbb C^nCn，默认其完备 对于其中的元 z=(z1,z2,…,zn)∈Cnz = (z_1, z_2, \ldots, z_n) \in \mathbb C^nz=(z1​,z2​,…,zn​)∈Cn，定义其范数为 ∥z∥=∑k=1n∣zk∣2\|z\| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k|^2} ∥z∥=k=1∑n​∣zk​∣2​ 其中 ∣zk∣|z_k|∣zk​∣ 为复数 zkz_kzk​ 的模长 注意后续中 zkz_kzk​...

# 回转角 令 D⊂R2D \subset \mathbb R^2D⊂R2 为开集 取 DDD 上的 Riemannian 度规 ggg (ξ,η)q=gq(ξ,η),∥ξ∥q=(ξ,ξ)q(\xi, \eta)_{\boldsymbol q} = g_{\boldsymbol q}(\xi, \eta), \quad \|\xi\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{(\xi, \xi)_{\boldsymbol...

# 理想 理想是环论中 非常重要 的概念 它类似于群论中的正规子群，允许在环上构造出商环 并且也可以通过研究理想的生成，PID 环，整环等概念来分析环的结构 定义 令 RRR 为环，称非空子集 J⊆RJ \subseteq RJ⊆R 为 RRR 的 左理想，当且仅当 JJJ 成为 (R,+)(R,+)(R,+) 的加法子群 a∈J, r∈R ⟹ ra∈Ja \in J,\ r \in R \ \Longrightarrow \ ra \in Ja∈J, r∈R ⟹ ra∈J 互换乘法可得到 右理想。 称 JJJ 为 RRR...