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# 内积 向量与向量之间最为重要的运算就是内积与外积。 定义 对于 Rn\mathbb R^nRn 内的两元 a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn)\boldsymbol a = (a_1, a_2, \dots, a_n),\ \boldsymbol b = (b_1, b_2, \dots, b_n)a=(a1​,a2​,…,an​), b=(b1​,b2​,…,bn​) 定义其 内积 (dot product) 为 a⋅b=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\boldsymbol a...

# 刚体变换 给定正交矩阵 A∈SO(3)A \in SO(3)A∈SO(3) 和向量 b∈R3\boldsymbol b \in \mathbb R^3b∈R3，定义映射 T:R3→R3T: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3T:R3→R3 为 T(x)=Ax+bT(\boldsymbol x) = A\boldsymbol x + \boldsymbol b T(x)=Ax+b 称 TTT 为 R3\mathbb R^3R3 上的刚体变换 (Rigid...

# 分离公理 # 分离公理 分离公理 分离公理 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间 T1T_1T1​ 第一分离公理：Frechet 公理 T2T_2T2​ 第二分离公理：Hausdorff 公理 ∀x,y∈X, x≠y⟹∃U,V∈O, s.t. x∈U, y∈V, U∩V=∅\forall x,y \in X,\ x \neq y \Longrightarrow \exists U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ y...

处理无穷个对象往往是难以操作的，我们制定两条规则，来使得部分性质良好的拓扑空间可以被有限个集合控制 命题 距离空间满足第一可数公理 证明 令 (X,d)(X,d)(X,d) 为距离空间，对于任意 x∈Xx \in Xx∈X，若令 B(x):={N(x,1n)∣n∈N}\mathcal B(x) := \{N(x,\frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb N\}B(x):={N(x,n1​)∣n∈N}，则 B(x)\mathcal B(x)B(x) 成为 xxx...

# 开基 数学中，一个通用的思维策略是，通过研究一部分具有代表性的对象来研究整个空间，例如等价类的完全代表系，或者生成群的生成元。在拓扑空间中，这样的对象称为准开基或者开基。我们可以通过生成的概念来找寻这样的对象。 定义 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间，S⊂O\mathcal S \subset \mathcal OS⊂O，如果 O\mathcal OO 是由 S\mathcal SS 生成的拓扑，则称 S\mathcal SS 为 O\mathcal OO 的 准开基...

定义 令 X≠∅,O⊂P(X)X \neq \emptyset, \mathcal O \subset \mathcal{P}(X)X=∅,O⊂P(X)，若 O\mathcal OO 满足 ∅,X∈O\emptyset,X \in \mathcal{O} \quad∅,X∈O O1,O2∈O ⟹ O1∩O2∈OO_1,O_2 \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ O_1 \cap O_2 \in \mathcal...

# 复变函数 注意要求点位于内部 定义 对于复变函数 f:D(⊂C)→C, z0∈D∘f: D (\subset \mathbb C) \to \mathbb{C},\ z_0 \in D^\circf:D(⊂C)→C, z0​∈D∘，如果极限 lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0=(lim⁡ζ→0f(z0+ζ)−f(z0)ζ)\lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \left( \lim_{\zeta \to 0}...

# 复数基本性质 复平面上数的表示： z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R} z=x+iy,x,y∈R 实部：ℜ(z)=x\Re(z) = xℜ(z)=x，虚部：ℑ(z)=y\Im(z) = yℑ(z)=y。 模长：∣z∣2=ℜ(z)2+ℑ(z)2|z|^2 = \Re(z)^2 + \Im(z)^2∣z∣2=ℜ(z)2+ℑ(z)2。 偏角：θ\thetaθ，其中 θ\thetaθ 满足 cos⁡θ=x∣z∣,sin⁡θ=y∣z∣\cos...

# 复平面上的距离拓扑 研究空间结构需要引入拓扑，复数的拓扑结构可以用欧几里得距离自然构造出距离拓扑 首先是距离的定义，对于复数 z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C}z1​,z2​∈C，定义它们之间的距离为 d(z1,z2)=∣z1−z2∣d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| d(z1​,z2​)=∣z1​−z2​∣ 此时 ddd 满足距离公理 并且映射 J:R2→C,J(x,y)=x+iyJ:\mathbb R^2 \to \mathbb C, J(x,y) = x + iyJ:R2→C,J(x,y)=x+iy 是...

# Sylow 定理 群论的最后，让我们来学习一个分析有限群构造的重要定理：Sylow 三大定理 在子群的章节有给出，子群的阶数一定是群的阶数的因子。但是反过来并不能说一定存在因子阶数的子群，例如交错群 A4A_4A4​ 的阶数为 12，但是并没有阶 6 的子群。 然而，我们却可以直接给出，如果这个因子是质数，那么一定存在与其对应的群 定理 Sylow 第一定理 令 ppp 为 ord(G)ord(G)ord(G) 的质因数，且 ord(G)ord(G)ord(G) 可以被分解为 ord(G)=pkm, k,m∈Nord(G) = p^km,\ k,m \in...