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Cauchy 积分定理是复变函数积分非常重要的结论 这不止指示了积分区域内的奇异点对于积分值的影响，也进一步揭示了可微的复变函数相较于可微的实变函数有根本上的不同 进一步，Cauchy 积分定理也将引出多个重要的结论，甚至是代数学基本定理 Cauchy 积分定理简单来说是 在函数正则的区域内，任意闭路径的积分均为零 # Cauchy 积分定理 Cauchy 积分定理本身是更进一步的课程，例如泛函中讨论的对象。 但是单作为一种解决复变函数积分的技巧，以及导出许多重要结论所用的工具，我们可以只考虑数类特殊情况 让我们从三角剖分开始引入 定理 Cauchy 积分定理（三角形） 令 D⊂CD...

现在开始对复变函数进行研究 称定义域和值域均为复数域 C\mathbb CC 的函数为复变函数 # 复微分 类似于实变函数，复变函数的微分可能性定义基于极限的存在 定义 取定义域 D⊂CD \subset \mathbb CD⊂C，令复变函数 f:D→Cf: D \to \mathbb Cf:D→C 取内部点 z0∈D∘z_0 \in D^\circz0​∈D∘，称 fff 在 z0z_0z0​ 处 复可微，当且仅当极限 lim⁡z→z0f(z)−f(z0)z−z0=(lim⁡ζ→0f(z0+ζ)−f(z0)ζ)\lim_{z...

本节学习多元函数的路径积分 # 路径 设 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb R^nc:[a,b]→Rn 为一条分段光滑曲线 可以将 c\boldsymbol cc 视为一条从点 c(a)\boldsymbol c(a)c(a) 到点 c(b)\boldsymbol c(b)c(b) 的路径 (Path) 记 与路径 c\boldsymbol cc 方向相反的路径为 c−1\boldsymbol c^{-1}c−1，即...

目前我们已经知道，正则性等价于解析性，即在某范围正则的函数可以直接展开为 Taylor 级数。 但是当内部出现可数个奇点时，级数会发散，这导致 Taylor 展开失效 此时，可以通过将函数中非正则的部分抽离，从而实现 正则 + 非正则 的组合 对于正则的部分，可以进行 Taylor 展开 对于非正则的部分，可以进行负幂级数展开，从而收敛 这样的展开方式为 Laurent 展开 Laurent 展开可能性从圆域正则改为了环域正则，即可以允许通过挖孔的方式规避奇点 定义环域 A(a;r,R)={z∈C∣r<∣z−a∣<R}A(a; r, R) = \{z...

数个复分析中的重要定理均可由 Cauchy 积分定理导出 # Morera 定理 在 Cauchy 积分定理的推导过程中，我们首先证明了在三角剖分的情况，即 在正则的区域内，任意闭三角形的积分为零 而这个结论的反方向 若区域内任意闭三角形的积分为零，则该区域内函数正则 作为著名的 Morera 定理，实际上也成立 定理 Morera 定理 令 D⊂CD \subset \mathbb CD⊂C 为开集，f:D→Cf:D \to \mathbb Cf:D→C 连续 若对于任意闭三角形 △⊂D\triangle \subset...

本页面启用了交互式编辑器，加载时间可能稍长 请刷新页面以启用交互式编辑器 点我刷新页面 # HTML 在网络上扮演什么角色？ HTML (超文本标记语言) 是一种用于创建网页的标记语言。当访问一个网站并看到段落、标题、链接、图像和视频等内容时；那就是由 HTML 实现的。 下面是一个使用 HTML 元素的小示例。尝试在编辑器中修改一些文本，观察预览窗口中的变化。 Main heading element I am a paragraph element. HTML...

本页面启用了交互式编辑器，加载时间可能稍长 请刷新页面以启用交互式编辑器 点我刷新页面 # 为什么你应该关心语义化 HTML？ 语义是语言中单词或短语的含义。在 HTML 这种语言中，元素也有其自身的语义含义。实际上，你可以把 HTML 文档当作文本文件看待。就像文本文件一样，你可能会有标题、图像、加粗文本和其他格式。 元素的语义含义指的是该元素传达的特殊信息。例如， p 元素的语义含义是一个段落文本： 示例代码 Let me tell you about my fantastic holiday in Paris. I saw the impressive Eiffel Tower up...

以下给出实现可视化 html+css 编辑器的流程 待办事项 启用 alert 等功能：需要在 iframe sandbox 属性中添加 allow-modals 防止注释 // 以及后续内容被吞掉：使用转义 \/\/ 代替，并添加一个 js 处理，将 \/\/ 替换回 // 防止作为示例的转义 < 被直接渲染为 < ：需要在预览渲染前将其还原为 < ，但不能影响代码编辑器内的内容：使用 < 代替 < # 结构示例 <div...

导入复变函数的积分，需要按顺序导入以下内容 复数值的实数变量函数在线段（区间）上的积分 复变函数 fff 沿复平面上的 C1C^1C1 曲线路径积分 复变函数沿路积分 # 区间积分 对于 复数值 函数 f(t):[a,b]→Cf(t):[a,b] \to \mathbb Cf(t):[a,b]→C，由于实部虚部分别为实变函数，可以通过实变积分延拓 定义 若 Ref(t), Imf(t)\mathrm{Re} f(t),\ \mathrm{Im} f(t)Ref(t), Imf(t) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上可积，则称复数值...

# 度量空间 定义 设 XXX 为非空集合 若映射 d:X×X→Rd:X \times X \to \mathbb Rd:X×X→R 满足 ∀x,y∈X, d(x,y)≥0{}^\forall x,y \in X,\ d(x,y) \geq 0∀x,y∈X, d(x,y)≥0，并且：当且仅当 x=yx=yx=y 时 d(x,y)=0d(x,y)=0d(x,y)=0 ∀x,y∈X, d(x,y)=d(y,x){}^\forall x,y \in X,\ d(x,y) =...