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统计学本质上的目的是去尽可能精确的估计总体的参数 例如我们想要研究全球人类的平均身高 最常见的方法就是随机抽取大量样本，然后进行估算 假设总体的平均身高为 μ\muμ，抽取标本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_nX1​,X2​,…,Xn​，计算标本的平均身高 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n X_iX=n1​i=1∑n​Xi​ 自然我们期待 X‾\overline{X}X 能够尽可能接近...

有数个类型比较特殊的拓扑，是基于已有拓扑通过映射变化等方式构造出来的，下面介绍其中重要的几个类型 虽然以下将作为定义去处理它们，但是不难验证在各自的条件下它们都将满足三条拓扑公理，本章将不给出具体证明而直接陈述其为拓扑 # 相对拓扑 定义 令 (X,d)(X,d)(X,d) 为拓扑空间，A⊂X,A≠∅A \subset X,A \neq \emptysetA⊂X,A=∅，那么 OA:={O∩A∣O∈O}\mathcal O_A := \{ O \cap A \mid O \in \mathcal O...

微分形简单来说就是在积分 ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy\int f(x)dx,\quad \iint f(x,y)dxdy ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy 中，形如 f(x)dx,f(x,y)dxdyf(x)dx, f(x,y)dxdy f(x)dx,f(x,y)dxdy 的部分 微分形具有不同的次数，也可以定义在不同维度的空间中。为了方便理解，我们首先从二维空间的 111 次微分形开始导入 # 1 - 形式 令 U⊂R2U \subset \mathbb R^2U⊂R2 为开集 对于定点 p∈U\boldsymbol p...

本章主要内容为以微分形式为对象的计算 以下计算均建立在开集 UUU 上的 kkk 形式： Ωk(U)\Omega^k(U)Ωk(U) 上 对于 α,β∈Ωk(U)\alpha, \beta \in \Omega^k(U)α,β∈Ωk(U)，记 α=∑i1,…,ik=1nfi1⋯ikdxi1∧⋯∧dxikβ=∑j1,…,jk=1ngj1⋯jkdxj1∧⋯∧dxjk\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots...

# 复平面上的距离拓扑 研究空间结构需要引入拓扑，复数的拓扑结构可以用欧几里得距离自然构造出距离拓扑 首先是距离的定义，对于复数 z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C}z1​,z2​∈C，定义它们之间的距离为 d(z1,z2)=∣z1−z2∣d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| d(z1​,z2​)=∣z1​−z2​∣ 此时 ddd 满足距离公理 并且映射 J:R2→C,J(x,y)=x+iyJ:\mathbb R^2 \to \mathbb C, J(x,y) = x + iyJ:R2→C,J(x,y)=x+iy 是...

在对函数进行类数列的分析前，我们需要先赋予函数一个量化的标准，也就是范数 令集合 SSS 上的 C\mathbb CC 值函数空间为 F(S)\mathscr F(S)F(S) 在 F(S)\mathscr F(S)F(S) 上定义加法和和标量积为 (f+g)(x):=f(x)+g(x)(f + g)(x) := f(x) + g(x) (f+g)(x):=f(x)+g(x) (αf)(x):=αf(x)(\alpha f)(x) := \alpha f(x) (αf)(x):=αf(x) 此时 F(S)\mathscr F(S)F(S)...

众所周知，满足方程 x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 = 0x2+y2−1=0 的点 (x,y)(x, y)(x,y) 构成一个单位圆 我们期望对于 f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0 形式的方程所表示的点，都能构成这样的光滑曲线 从分析的视角来说，我们需要考察的是： 对于方程所形成的图上的任意一个点，在这个点的某一个邻域下，这个图能不能被表示为一个光滑的函数的图像呢？ 简单来说，就是能不能通过解关于 yyy 的方程 f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0 来得到一个光滑函数 y=g(x)y = g(x)y=g(x)？ 定理 隐函数定理 令...

# 换元积分法 # 分部积分法 # 有理函数积分 有理函数指的是形如 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x)​ 的函数，其中 P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 都是实系数多项式 此类函数一定能求出原函数 重点在于部分分式展开 我们要将原分式转为形如 C(x−a)k, Ax+B((x−a)2+b2)m\frac{C}{(x-a)^k},\ \frac{Ax + B}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} (x−a)kC​, ((x−a)2+b2)mAx+B​ 的分式之和，其中 k,mk, mk,m...

偏微分可能性确保了多元函数在特定方向上的变化性质，但是上升到高维角度，分量同时变化时可能会产生相互作用的叠加效果，使得原本在分量上偏微分可能的函数整体上并不具备良好的微分性质 为了确定多元函数作为整体的微分可能性，需要引入更强的 Frechet 微分 特别地，在有限维度下，Frechet 微分等价于全微分 以下作为区分，实数值函数记作 fff，向量值函数记作 FFF # Fréchet 微分 定义 设 U⊂RnU \subset \mathbb R^nU⊂Rn 为开集，F:U→RmF: U \to \mathbb R^mF:U→Rm 对于...

# 直积 直积的概念在集合论中早已出现过，在群论中我们关注集合作为运算的结构，所以我们可以通过给出直积上的运算来考察诸性质 给出群 G1,G2G_1,G_2G1​,G2​ 和直积 G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​ 如果我们定义对于这个集合上的两个元 (a1,a2),(b1,b2)(a_1,a_2),(b_1,b_2)(a1​,a2​),(b1​,b2​) 之间的运算（写作积的形式）为 (a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)(a_1,a_2)(b_1,b_2) =...