偏微分可能性确保了多元函数在特定方向上的变化性质，但是上升到高维角度，分量同时变化时可能会产生相互作用的叠加效果，使得原本在分量上偏微分可能的函数整体上并不具备良好的微分性质 为了确定多元函数作为整体的微分可能性，需要引入更强的 Frechet 微分 特别地，在有限维度下，Frechet 微分等价于全微分 以下作为区分，实数值函数记作 fff，向量值函数记作 FFF # Fréchet 微分 定义 设 U⊂RnU \subset \mathbb R^nU⊂Rn 为开集，F:U→RmF: U \to \mathbb R^mF:U→Rm 对于...

# 广义积分的定义 # 收敛性 # Gamma 函数 Γ(t)\Gamma(t)Γ(t) 对于实数 t>0t \gt 0t>0，定义 Γ(t)=∫0+∞xt−1e−x dx\Gamma(t) = \int_0^{+\infty} x^{t-1} e^{-x} \, dx Γ(t)=∫0+∞​xt−1e−xdx 称为 Gamma 函数，它是阶乘函数在实数域上的推广 Gamma 函数具有以下性质： 当 t=nt = nt=n 为自然数时，有 Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n) =...

# 直积 直积的概念在集合论中早已出现过，在群论中我们关注集合作为运算的结构，所以我们可以通过给出直积上的运算来考察诸性质 给出群 G1,G2G_1,G_2G1​,G2​ 和直积 G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​ 如果我们定义对于这个集合上的两个元 (a1,a2),(b1,b2)(a_1,a_2),(b_1,b_2)(a1​,a2​),(b1​,b2​) 之间的运算（写作积的形式）为 (a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)(a_1,a_2)(b_1,b_2) =...

# 群的定义 群其实是要求一个集合要能附带（封闭）某一种性质良好运算，也就是说：运算封闭，结合，可逆并且有单位元。 定义 对于一个集合 XXX 和一个二元运算 ∗:X×X→X*:X \times X \rightarrow X∗:X×X→X，如果满足： ∀a,b,c∈Xs.t.(a∗b)∗c=a∗(b∗c)\forall a,b,c \in X \quad s.t. \quad (a*b)*c = a*(b*c) ∀a,b,c∈Xs.t.(a∗b)∗c=a∗(b∗c) ∃e∈X,∀a∈Xs.t.a∗e=e∗a=a\exists e...

# Sylow 定理 群论的最后，让我们来学习一个分析有限群构造的重要定理：Sylow 三大定理 在子群的章节有给出，子群的阶数一定是群的阶数的因子。但是反过来并不能说一定存在因子阶数的子群，例如交错群 A4A_4A4​ 的阶数为 12，但是并没有阶 6 的子群。 然而，我们却可以直接给出，如果这个因子是质数，那么一定存在与其对应的群 定理 Sylow 第一定理 令 ppp 为 ord(G)ord(G)ord(G) 的质因数，且 ord(G)ord(G)ord(G) 可以被分解为 ord(G)=pkm, k,m∈Nord(G) = p^km,\ k,m \in...