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# 同态映射 定义 令 G,G′G,G'G,G′ 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G'f:G→G′ 若满足 f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b) f(ab)=f(a)f(b) 则称 fff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')f∈Hom(G,G′) 若在此之上，有 fff 双射，则称 fff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」 要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GGG...

在群论中，置换群占据着核心地位。 Cayley 定理告诉我们，任何一个群在本质上都等构于一个置换群。 因此，研究置换群的性质对于理解一般群的结构至关重要。 # 对称群与置换 定义 令 XXX 为一个非空集合。 XXX 到自身的一个双射 σ:X→X\sigma: X \to Xσ:X→X 称为 XXX 上的一个 置换 (Permutation)「置換」。 XXX 上的所有置换构成的集合，关于映射的合成运算 ∘\circ∘ 构成的群，称为 XXX 上的 对称群 (Symmetric Group)「対称群」，记作 SXS_XSX​。 特别地，当 X={1,2,…,n}X...

# 直积与直积分解 # 外直积 直积的概念在集合论中早已出现过。在群论中，我们通过给出直积上的运算来考察其代数结构。 定义 给出群 G1,G2G_1, G_2G1​,G2​。考虑笛卡尔积 G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​。 定义该集合上的二元运算为分量运算： (a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)(a_1, a_2)(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2) (a1​,a2​)(b1​,b2​)=(a1​b1​,a2​b2​) 此时，G1×G2G_1 \times G_2G1​×G2​ 构成一个群，称为 G1G_1G1​...

# 环 定义 令 RRR 为非空集合 于 RRR 上定义两个运算： 加法 +:R×R→R, (a,b)↦a+b+:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto a + b+:R×R→R, (a,b)↦a+b 乘法 ∗:R×R→R, (a,b)↦ab*:R \times R \to R,\ (a,b) \mapsto ab∗:R×R→R, (a,b)↦ab 若 RRR 对加法，乘法封闭，且满足： R1 RRR 对加法构成交换群，即 G1 加法满足结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a + b) +...

# 理想 理想是环论中 非常重要 的概念 它类似于群论中的正规子群，允许在环上构造出商环 并且也可以通过研究理想的生成，PID 环，整环等概念来分析环的结构 定义 令 RRR 为环，称非空子集 J⊆RJ \subseteq RJ⊆R 为 RRR 的 左理想，当且仅当 JJJ 成为 (R,+)(R,+)(R,+) 的加法子群 a∈J, r∈R ⟹ ra∈Ja \in J,\ r \in R \ \Longrightarrow \ ra \in Ja∈J, r∈R ⟹ ra∈J 互换乘法可得到 右理想。 称 JJJ 为 RRR...