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对称群是群论中地位无可比拟的，最优雅，最核心的研究对象
在后续的 Cayley 定理中可以知道，任何群都可以看作是某个对称群的子群
这是因为对称群揭露了群运算的本质：换位

# 置换

我们先来看什么是置换：语义上来说，这指交换两个元素，例如我们考虑位置固定的五个数字：

{1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}

通过将 22 和 44 交换，我们得到一个新的排列：

{1,4,3,2,5}\{1, 4, 3, 2, 5\}

这就是置换的一个简单例子
实际上我们应该将上述的置换看作是映射，也就是说每一个元素经过一个置换之后，会被指定为一个新的位置，这个位置是不会重合，不会遗漏的，也就是说是一个双射

1→12→43→34→25→5\begin{aligned} 1 &\to 1 \\ 2 &\to 4 \\ 3 &\to 3 \\ 4 &\to 2 \\ 5 &\to 5 \end{aligned}

一般来说记这样一个类型的映射为 σ\sigma，更正式地：
给定势 nn 的有限群 GG，若映射 σ:G→G\sigma: G \to G 是一个双射，那么称 σ\sigma 是 GG 的一个 置换 (permutation)「置換」
特别地，若一个置换只交换两个元素，则称为一个二元互换

对于置换，我们常用两行的表示方法：

  • 第一行表示原本的位置
  • 第二行表示置换之后的位置

例如上述的置换 σ\sigma 可以表示为

σ=(1234514325)\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 5\end{pmatrix}

另外一种表达置换的方式是循环表示法，使用单一个括号表示，其中每一个元素都被映射到后一个位置上，例如上述的置换 σ\sigma 可以表示为

σ=(2 4)\sigma = (2 \ 4)

# 对称群

了解置换的定义以后，不难看出存在一种自明的置换：什么都不换。
这样的置换称为恒等置换，记为 ee，它满足 e(x)=xe(x) = x 对于 GG 中的任意元素 xx 都成立

我们定义置换之间的乘法运算为映射复合运算，也就说对于两个置换 σ\sigma 和 τ\tau，定义 στ\sigma \tau 为先执行 τ\tau 再执行 σ\sigma，例如

σ=(2 4),τ=(1 3)\sigma = (2 \ 4), \quad \tau = (1 \ 3)

则 στ\sigma \tau 的结果为

στ=(1 3)(2 4)=(1234534125)\sigma \tau = (1 \ 3)(2 \ 4) = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 2 & 5\end{pmatrix}

计算置换乘积的方法，选取一个数字从置换的右侧开始向左行动，例如选择 11，从右侧遍历 (1 3)(2 4)(1 \ 3)(2 \ 4)，会遇到第一个置换 (2 4)(2 \ 4)，由于 11 不在其中，所以经过这个置换后 11 仍然是 11，继续向左遍历，遇到第二个置换 (1 3)(1 \ 3)，由于 11 在其中，所以经过这个置换后 11 变成了 33，因此 στ(1)=3\sigma \tau(1) = 3
同理继续下去就可以得到所有的元素

显然对于任何置换 σ\sigma，都有 σe=eσ=σ\sigma e = e \sigma = \sigma

由于置换是一个双射映射，所以一定存在一个复原的办法 σ−1\sigma^{-1}，使得 σσ−1=σ−1σ=e\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = e

这样一来，针对置换就构成了一个群，也就是说在 GG 上所有可能的置换全体 SGS_G 构成了一个群，称为 GG 的 对称群 (symmetric group)「対称群」，或者全体置换群
在置换的思维下，我们并不关注 GG 中元素的具体值，只关注其位置，因此可以简略地将其表示为 nn 个自然数的集合，记在 {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} 上的对称群为 SnS_n，它的阶数为 n!n!（排列组合即可证明）

命题
任意 σ∈Sn\sigma \in S_n 都可以表示为二元互换的乘积

证明

使用数学归纳法
当 n=2n = 2 时，显然 S2S_2 中的置换都可以表示为二元互换的乘积
考虑 n>2n \gt 2，任取 σ∈Sn\sigma \in S_n

  • 如果 σ(n)=n\sigma(n) = n，则 σ\sigma 可以看作是 Sn−1S_{n-1} 中的一个置换，根据归纳假设，σ\sigma 可以表示为二元互换的乘积
  • 如果 σ(n)≠n\sigma(n) \neq n，则存在置换 τ∈Sn\tau \in S_n，使得 τ(n)=σ(n)\tau(n) = \sigma(n)，则此时

τσ(n)=τ(σ(n))=n\tau \sigma(n) = \tau(\sigma(n)) = n

因此又回到了第一种情况，τσ\tau \sigma 可以表示为二元互换的乘积，那么 σ\sigma 也可以表示为二元互换的乘积

□\square

！注意：这种表示方式不是唯一的，例如 (1 3)(2 3)(3 4)=(1 2)(1 3)(2 4)(3 4)(2 3)(1 \ 3)(2 \ 3)(3 \ 4) = (1 \ 2)(1 \ 3)(2 \ 4)(3 \ 4)(2 \ 3)
但是个数的奇偶性是恒定的，因此我们引入分析个数奇偶性的工具

从 {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\} 中任取两个元素 ii 和 jj 构成一个子集（有 nC2_nC_2 个）
选取的所有可能性记为 Ω\Omega，那么对于任意 σ∈Sn\sigma \in S_n，定义其 符号 (sign)「符号」 为

sgn(σ)=∏(i,j)∈Ωσ(i)−σ(j)i−j\text{sgn}(\sigma) = \prod_{(i,j) \in \Omega} \frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}

命题
对于任意 σ∈Sn\sigma \in S_n,

sgn(σ)={1−1\text{sgn}(\sigma) = \begin{cases} 1 \\ -1 \end{cases}

证明