# 直积与直积分解

# 外直积

直积的概念在集合论中早已出现过。在群论中，我们通过给出直积上的运算来考察其代数结构。

定义
给出群 $G_1, G_2$ 。考虑笛卡尔积 $G_1 \times G_2$ 。
定义该集合上的二元运算为分量运算：

$(a_1, a_2)(b_1, b_2) = (a_1 b_1, a_2 b_2)$

此时， $G_1 \times G_2$ 构成一个群，称为 $G_1$ 与 $G_2$ 的 外直积 (External Direct Product)。

对于群 $G = G_1 \times G_2$ ：

单位元： $e = (e_1, e_2)$
逆元： $(a_1, a_2)^{-1} = (a_1^{-1}, a_2^{-1})$
阶： $|G| = |G_1| \cdot |G_2|$
交换性： $G$ 是交换群 $\iff G_1, G_2$ 均为交换群。

# 内直积分解

直积分解是将一个大群拆解为几个因子群的积，这是研究群结构（尤其是有限阿贝尔群）的强有力手段。

定义
令 $H_1, H_2 \leq G$ 。若任意 $g \in G$ 可以被唯一地表示为

$g = h_1 h_2, \quad h_1 \in H_1, h_2 \in H_2$

并且 $h_1 h_2 = h_2 h_1$ （元素交换），则称 $G$ 为 $H_1, H_2$ 的 内直积 (Internal Direct Product)。
此时有 $G \cong H_1 \times H_2$ 。

判断一个群是否可以进行直积分解，通常使用以下等价条件：

定理 直积分解判定定理
令 $H_1, H_2 \leq G$ 。 $G$ 是 $H_1, H_2$ 的内直积的充要条件为：

$H_1, H_2 \triangleleft G$ （正规子群）
$H_1 \cap H_2 = \{e\}$ （交集平凡）
$G = H_1 H_2$ （生成全群）

证明

（必要性）
若 $G \cong H_1 \times H_2$ ，则 $H_1 \cong H_1 \times \{e\}$ 。
在直积中， $(h, e)(x, y)(h^{-1}, e) = (hxh^{-1}, y) = (x', y)$ ，但这不一定落在 $H_1 \times \{e\}$ 中... 等等，直观上看：
考虑 $H_1$ 在 $G$ 中的对应部分，它是正规的。
且唯一表示性蕴含了 $H_1 \cap H_2 = \{e\}$ （若 $x$ 在交集中，则 $x = x \cdot e = e \cdot x$ 违反唯一性）。

（充分性）
首先证明 $H_1$ 与 $H_2$ 元素可交换。
取 $h_1 \in H_1, h_2 \in H_2$ ，考虑交换子 $x = h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ 。
$x = (h_1 h_2 h_1^{-1}) h_2^{-1} \in H_2$ （因为 $H_2 \triangleleft G$ ）
$x = h_1 (h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}) \in H_1$ （因为 $H_1 \triangleleft G$ ）
故 $x \in H_1 \cap H_2 = \{e\}$ ，即 $h_1 h_2 = h_2 h_1$ 。

再证明同构。
定义映射 $\phi: H_1 \times H_2 \to G, (h_1, h_2) \mapsto h_1 h_2$ 。

同态： $\phi((h_1, h_2)(k_1, k_2)) = \phi(h_1 k_1, h_2 k_2) = h_1 k_1 h_2 k_2 = h_1 h_2 k_1 k_2$ （利用了元素交换性） $= \phi(h_1, h_2)\phi(k_1, k_2)$ 。
满射：由 $G = H_1 H_2$ 保证。
单射：若 $\phi(h_1, h_2) = e$ ，即 $h_1 h_2 = e \implies h_1 = h_2^{-1}$ 。左边 $\in H_1$ ，右边 $\in H_2$ ，故均为 $e$ 。
$\square$

几何直观理解： $G$ 可以被 $H_1, H_2$ 的 “网格” 覆盖，且 $H_1, H_2$ 之间仅在原点相交（如同线性代数中向量空间的直和）。

# 群上的作用

“任何群一定和某个置换群同构” —— Cayley 定理。
这一节我们将这一思想推广，研究群如何 “控制” 或 “排列” 一个集合中的元素。

定义
对于群 $G$ 和一个集合 $X$ ，若映射 $\varphi: G \times X \to X,\ (g, x) \mapsto g \cdot x$ 满足：

单位元作用： $\forall x \in X,\ e \cdot x = x$
结合律： $\forall g, h \in G,\ \forall x \in X,\ (gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$

则称群 $G$ 作用 (Act)「作用」 于集合 $X$ ，记作 $G \curvearrowright X$ 。
集合 $X$ 称为 $G$ - 集合。

群作用本质上是把群 $G$ 中的每个元素 $g$ 看作是集合 $X$ 上的一个变换（双射）。
这等价于存在一个同态映射 $\rho: G \to S_X$ 。

示例
例 1（自然作用）： $S_n$ 作用于集合 $X = \{1, 2, \dots, n\}$ 。 $\sigma \cdot i = \sigma(i)$ 。
例 2（正多边形）：二面体群 $D_n$ 作用于正 $n$ 边形的顶点集。
例 3（左平移）：群 $G$ 作用于自身 $X=G$ ，定义 $g \cdot x = gx$ 。这是 Cayley 定理的基础。
例 4（共轭作用）：群 $G$ 作用于自身 $X=G$ ，定义 $g \cdot x = gxg^{-1}$ 。这是研究群结构（如类方程）的关键。

# 轨道与稳定子

群作用将集合 $X$ 划分为了若干个互不相交的区域。

定义
令 $G \curvearrowright X$ ，取 $x \in X$ 。

轨道 (Orbit)「軌道」： $x$ 在 $G$ 作用下能到达的所有点的集合。
$Orb_G(x) = G \cdot x = \{ g \cdot x \mid g \in G \} \subseteq X$
稳定子 (Stabilizer)「固定部分群」： $G$ 中所有使 $x$ 保持不动的元素的集合。
$Stab_G(x) = G_x = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \} \leq G$

关于轨道和稳定子，有一个连接群论与几何 / 组合数学的著名定理：

定理 轨道 - 稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)
令 $G$ 为有限群作用于集合 $X$ ，对于任意 $x \in X$ ，有：

$|G| = |Orb_G(x)| \cdot |Stab_G(x)|$

即：群的阶 = 轨道的长度 $\times$ 稳定子子群的阶。

证明

构造双射 $f: G / G_x \to G \cdot x$ 。
将陪集 $gG_x$ 映射到点 $g \cdot x$ 。

良定性：若 $gG_x = hG_x$ ，则 $h^{-1}g \in G_x$ ，即 $h^{-1}g \cdot x = x \implies g \cdot x = h \cdot x$ 。
双射：显然是满射。若 $g \cdot x = h \cdot x$ ，则 $h^{-1}g \cdot x = x \implies h^{-1}g \in G_x \implies gG_x = hG_x$ ，故为单射。
因此，轨道的大小等于陪集的个数（指数），即 $|G \cdot x| = [G : G_x] = |G| / |G_x|$ 。
$\square$

# Burnside 引理

作为群作用在组合计数中的应用，Burnside 引理解决了 “本质不同的染色方案有多少种” 这类问题。

定理 Burnside 引理
$G$ 作用于 $X$ 的轨道数（即本质不同的元素个数） $N$ 等于 $G$ 中每个元素的不动点个数的平均值：

$N = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g|$

其中 $X^g = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}$ 为 $g$ 的不动点集。