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从直观上来说，积分指示了函数图像与 xx 轴之间的面积，但是随着本科数学对函数的抽象化，高中阶段给出的积分定义已经无法满足分析学的需求了，为了解决 “什么样的函数可以积分” 这个问题，最广泛使用的是由 Riemann 给出的定义

# 上下积分

积分最核心的思想无疑是切分，计算，重组。
给出实数 R\mathbb R 的区间 I=[a,b]I=[a, b] 我们想要对这个区间进行严格的切分
不难意识到：只要决定了分割的点位，分割方式就是唯一的，因此等价于取一个数列 {xn}⊂I\{x_n\} \subset I，满足

a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_n = b

此时会产生 nn 个小区间

Ik=[xk−1,xk],k=1,2,…,nI_k = [x_{k-1}, x_k],\quad k = 1, 2, \ldots, n

称区间列

Δ:={Ik}k=1n\Delta := \{I_k\}_{k=1}^n

为区间 II 的一个分割

我们定义每个区间的长度用绝对值符号表示，也就是说

∣Ik∣:=∣xk−xk−1∣|I_k| := |x_k - x_{k-1}|

当然，对于同一个区间，可能存在无数种分割方式，其中有一种需要注意的是：
给定分割 Δ={Ik}k=1n\Delta = \{I_k\}_{k=1}^n 和分割 Δ′={Ik′}k′=1n′\Delta' = \{I_k'\}_{k'=1}^{n'}，如果满足

∀ℓ, ∃k: Iℓ′⊂Ik{}^\forall \ell,\ {}^\exists k:\ I_\ell' \subset I_k

则称分割 Δ′\Delta' 是分割 Δ\Delta 的一个细分，记作 Δ′≥Δ\Delta' \geq \Delta
也就是说，分割 Δ′\Delta' 是在分割 Δ\Delta 的基础上又增加了一些分割点得到的

我们定义，函数 ff 在区间 AA 上的上下确界分别为（函数有界时可以取到）

M(f,A):=sup⁡x∈Af(x),m(f,A):=inf⁡x∈Af(x)M(f, A) := \sup_{x \in A} f(x),\quad m(f, A) := \inf_{x \in A} f(x)

那么，在每一个小区间 IkI_k 上，矩形面积的最大值和最小值分别为 M(f,Ik)∣Ik∣M(f, I_k) |I_k| 和 m(f,Ik)∣Ik∣m(f, I_k) |I_k|，我们将其累加，得到函数 ff 在区间 II 上的上 Riemann 和与下 Riemann 和

S(f,Δ):=∑k=1nM(f,Ik)∣Ik∣,s(f,Δ):=∑k=1nm(f,Ik)∣Ik∣S(f, \Delta) := \sum_{k=1}^n M(f, I_k) |I_k|,\quad s(f, \Delta) := \sum_{k=1}^n m(f, I_k) |I_k|

命题
对于任意分割 Δ\Delta，有

s(f,Δ)≤S(f,Δ)s(f, \Delta) \leq S(f, \Delta)

证明（暂时省略）

命题
对于任意分割 Δ\Delta 与 Δ′\Delta'，如果 Δ′≥Δ\Delta' \geq \Delta，则

s(f,Δ)≤s(f,Δ′),S(f,Δ′)≤S(f,Δ)s(f, \Delta) \leq s(f, \Delta'),\quad S(f, \Delta') \leq S(f, \Delta)

证明（暂时省略）

命题 上下 Riemann 和的运算性质
设函数 f,g:I=[a,b]→Rf,g: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，k>0k \gt 0，任取分割 Δ\Delta，则以下成立

  1. 负号互换：

S(−f,Δ)=−s(f,Δ),s(−f,Δ)=−S(f,Δ)S(-f, \Delta) = -s(f, \Delta), \quad s(-f, \Delta) = -S(f, \Delta)

  1. 劣加法性：

S(f+g,Δ)≤S(f,Δ)+S(g,Δ)S(f + g, \Delta) \leq S(f, \Delta) + S(g, \Delta)

  1. 优加法性：

s(f+g,Δ)≥s(f,Δ)+s(g,Δ)s(f + g, \Delta) \geq s(f, \Delta) + s(g, \Delta)

  1. 正齐次性：

S(kf,Δ)=kS(f,Δ),s(kf,Δ)=ks(f,Δ)S(kf, \Delta) = k S(f, \Delta), \quad s(kf, \Delta) = k s(f, \Delta)

  1. 单调性：如果 f≤gf \leq g，则

s(f,Δ)≤s(g,Δ)≤S(g,Δ)≤S(f,Δ)s(f, \Delta) \leq s(g, \Delta) \leq S(g, \Delta) \leq S(f, \Delta)

证明（暂时省略）

现在，如果我们令 AreaArea 为函数到 xx 轴之间的面积，也就是高中以来直观上的积分，那么对任意分割 Δ\Delta，从直观上可以知道

s(f,Δ)≤Area≤S(f,Δ)s(f, \Delta) \leq Area \leq S(f, \Delta)

上 Riemann 和本质上是对该面积的一个过高的估计，同样下 Riemann 和是对该面积的一个过低的估计
因此，【过高的估计】当中最低的那一个，直观上也可以明白是最接近真实面积的那一个
同理，【过低的估计】当中最高的那一个也是最接近的
我们分别定义二者

定义
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 有界
定义函数 ff 在区间 II 上的 上 Riemann 积分 (Upper Riemann Integral)「上リーマン積分」 为

∫ab‾f(x)dx:=inf⁡ΔS(f,Δ)\overline{\int_a^b} f(x) dx := \inf_{\Delta} S(f, \Delta)

定义函数 ff 在区间 II 上的 下 Riemann 积分 (Lower Riemann Integral)「下リーマン積分」 为

∫ab‾f(x)dx:=sup⁡Δs(f,Δ)\underline{\int_a^b} f(x) dx := \sup_{\Delta} s(f, \Delta)

上下积分直接由上下 Riemann 和定义而来，因此它们具有与上下 Riemann 和完全一致的性质

命题
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，对于任意分割 Δ\Delta，有

∫ab‾f(x)dx≤∫ab‾f(x)dx\underline{\int_a^b} f(x) dx \leq \overline{\int_a^b} f(x) dx

证明（暂时省略）

命题 上下积分的运算性质
设函数 f,g:I=[a,b]→Rf,g: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，k>0k \gt 0，任取分割 Δ\Delta，则以下成立

  1. 负号互换：

∫ab‾(−f(x))dx=−∫ab‾f(x)dx,∫ab‾(−f(x))dx=−∫ab‾f(x)dx\overline{\int_a^b} (-f(x)) dx = -\underline{\int_a^b} f(x) dx, \quad \underline{\int_a^b} (-f(x)) dx = -\overline{\int_a^b} f(x) dx

  1. 劣加法性：

∫ab‾(f(x)+g(x))dx≤∫ab‾f(x)dx+∫ab‾g(x)dx\overline{\int_a^b} (f(x) + g(x)) dx \leq \overline{\int_a^b} f(x) dx + \overline{\int_a^b} g(x) dx

  1. 优加法性：

∫ab‾(f(x)+g(x))dx≥∫ab‾f(x)dx+∫ab‾g(x)dx\underline{\int_a^b} (f(x) + g(x)) dx \geq \underline{\int_a^b} f(x) dx + \underline{\int_a^b} g(x) dx

  1. 正齐次性：

∫ab‾(kf(x))dx=k⋅∫ab‾f(x)dx,∫ab‾(kf(x))dx=k⋅∫ab‾f(x)dx\overline{\int_a^b} (k f(x)) dx = k \cdot \overline{\int_a^b} f(x) dx, \quad \underline{\int_a^b} (k f(x)) dx = k \cdot \underline{\int_a^b} f(x) dx

  1. 单调性：如果 f≤gf \leq g，则

∫ab‾f(x)dx≤∫ab‾g(x)dx≤∫ab‾g(x)dx≤∫ab‾f(x)dx\underline{\int_a^b} f(x) dx \leq \underline{\int_a^b} g(x) dx \leq \overline{\int_a^b} g(x) dx \leq \overline{\int_a^b} f(x) dx

证明（暂时省略）

实际上如果按顺序学习不难看出：上下积分的概念与上下极限的概念几乎完全一致，二者的出发点都是找到两侧的界限，并且通过考察差值的极限来判断是否存在一个唯一的界限值。二者也具有几乎完全一致的性质，例如劣加法，优加法，正齐次

# Riemann 可积性

如果对于该函数的面积的估计上，上下 Riemann 积分的结果是一样的，那么就说明我们的分割近似起到了良好的效果，成功度量了函数图像与 xx 轴之间的面积

定义
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，若

∫ab‾f(x)dx=∫ab‾f(x)dx\overline{\int_a^b} f(x) dx = \underline{\int_a^b} f(x) dx

则称函数 ff 在区间 II 上 Riemann 可积 (Riemann Integrable)「リーマン可積分」，并且我们将该值记为

∫abf(x)dx\int_a^b f(x) dx

称该值为函数 ff 在区间 II 上的 积分 (Integral)「積分」，或者是定积分

一般来说也可以通过上下 Riemann 和的差值极限来等价地定义 Riemann 可积性，也就是 ε\varepsilon 式误差评估

命题
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，以下等价

  • ff 在区间 II 上 Riemann 可积
  • 对于任意的 ε>0\varepsilon \gt 0，存在分割 Δ\Delta 使得 S(f,Δ)−s(f,Δ)<εS(f, \Delta) - s(f, \Delta) \lt \varepsilon
证明（暂时省略）

以下是一个不满足 Riemann 可积性的函数的经典示例

示例 Dirichlet 函数
以下函数在区间 [0,1][0, 1] 上不满足 Riemann 可积性

f(x):={1,x∈Q0,x∈R∖Qf(x) := \begin{cases} 1, & x \in \mathbb Q \\ 0, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}

证明（暂时省略）

命题 积分的性质
设函数 f,g:I=[a,b]→Rf,g: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，α,β∈R\alpha,\beta \in \mathbb R，任取分割 Δ\Delta，则以下成立

  1. 线性性质：αf+βg\alpha f + \beta g 在区间 II 上 Riemann 可积，并且

∫ab(αf(x)+βg(x))dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx

  1. 单调性：如果 f≤gf \leq g，则

∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x) dx

  1. 绝对值不等式：如果 ff 在区间 II 上 Riemann 可积，则 ∣f∣|f| 在区间 II 上 Riemann 可积，并且

∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx

证明（暂时省略）

积分可能性的条件看似苛刻，但是实际上只需要在闭区间上连续或者单调，就能确保函数的 Riemann 可积性

命题 可积分的充分条件
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R

  1. 若函数在区间 II 上连续，则函数 ff 在区间 II 上 Riemann 可积
  2. 若函数在区间 II 上单调，则函数 ff 在区间 II 上 Riemann 可积
证明（暂时省略）

# 积分的应用

定理 积分中值定理
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 在区间 II 上连续，则

∃ξ∈[a,b]: ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a){}^\exists \xi \in [a, b]:\ \int_a^b f(x) dx = f(\xi) (b - a)

证明（暂时省略）

积分中值定理还具备一个广义形式

定理 积分中值定理的广义形式
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 在区间 II 上连续，函数 φ:I=[a,b]→R\varphi: I=[a, b] \to \mathbb R 在区间 II 上 Riemann 可积，并且 φ(x)≥0\varphi(x) \geq 0，则

∃ξ∈[a,b]: ∫abf(x)φ(x)dx=f(ξ)∫abφ(x)dx{}^\exists \xi \in [a, b]:\ \int_a^b f(x) \varphi(x) dx = f(\xi) \int_a^b \varphi(x) dx

证明（暂时省略）

通过积分中值定理，可以将原本定义互不相干的微分与积分联系起来

定理 微积分基本定理
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 在区间 II 上连续，则

ddx∫axf(t)dt=f(x)\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)

证明（暂时省略）

微积分基本定理的一个重要应用就是积分求解

命题
若函数 F:I=[a,b]→RF: I=[a, b] \to \mathbb R 在区间 II 上是 C1C^1 类函数，则

∫abF′(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b F'(x) dx = F(b) - F(a)

证明（暂时省略）
  • 一般地，对于连续函数 ff，称满足 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) 的函数 FF 是函数 ff 的一个原函数

# 分部积分与换元积分

定理 分部积分法
令函数 ff 在区间 [a,b][a,b] 上连续，且原函数为 FF
函数 gg 在区间 [a,b][a,b] 上是 C1C^1 类函数，则

∫abf(x)g(x)dx=F(b)g(b)−F(a)g(a)−∫abF(x)g′(x)dx\int_a^b f(x) g(x) dx = F(b) g(b) - F(a) g(a) - \int_a^b F(x) g'(x) dx

证明（暂时省略）

定理 换元积分法
令函数 f:[a,b]→[c,d]f:[a,b] \to [c,d] 在区间 [a,b][a,b] 上是 C1C^1 类函数
函数 g:[c,d]→Rg:[c,d] \to \mathbb R 在区间 [c,d][c,d] 上连续，则

∫abg(f(x))f′(x)dx=∫f(a)f(b)g(t)dt\int_a^b g(f(x)) f'(x) dx = \int_{f(a)}^{f(b)} g(t) dt

证明（暂时省略）

# Darboux 定理

目前已经知道，对于分割 Δ\Delta 极其细分 Δ′\Delta'，有

s(f,Δ)≤s(f,Δ′),S(f,Δ′)≤S(f,Δ)s(f, \Delta) \leq s(f, \Delta'),\quad S(f, \Delta') \leq S(f, \Delta)

我们想知道当 Δ\Delta 越来越细分时，二者变化的速度

对于分割 Δ\Delta，定义其 网格 (mesh)「目」 为

∥Δ∥:=max⁡1≤k≤n∣Ik∣\|\Delta\| := \max_{1 \leq k \leq n} |I_k|

命题
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，取 MM 使得 ∣f∣≤M|f| \leq M
对于任意分割 Δ\Delta，以及在其基础上添加了 nn 个分割点得到的细分 Δ′≥Δ\Delta' \geq \Delta，有

s(f,Δ′)−s(f,Δ)≤2nM∥Δ∥S(f,Δ)−S(f,Δ′)≤2nM∥Δ∥\begin{aligned} s(f, \Delta') - s(f, \Delta) &\leq 2nM \|\Delta\| \\ S(f, \Delta) - S(f, \Delta') &\leq 2nM \|\Delta\| \end{aligned}

证明（暂时省略）

定理 Darboux 定理
令函数 f:I=[a,b]→Rf: I=[a, b] \to \mathbb R 有界，则

lim⁡∥Δ∥→0s(f,Δ)=∫ab‾f(x)dx,lim⁡∥Δ∥→0S(f,Δ)=∫ab‾f(x)dx\lim_{\|\Delta\| \to 0} s(f, \Delta) = \underline{\int_a^b} f(x) dx,\quad \lim_{\|\Delta\| \to 0} S(f, \Delta) = \overline{\int_a^b} f(x) dx

证明（暂时省略）

# Riemann 和

定义
令有界区间 I⊂RI \subset \mathbb R，函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R
给定分割 Δ={Ik}k=1n\Delta = \{I_k\}_{k=1}^n，以及在每个小区间 IkI_k 上的一个点 ξk∈Ik\xi_k \in I_k，称

R(f,Δ,{ξk}):=∑k=1nf(ξk)∣Ik∣R(f, \Delta, \{\xi_k\}) := \sum_{k=1}^n f(\xi_k) |I_k|

为函数 ff 在区间 II 上关于 (Δ,{ξk})(\Delta, \{\xi_k\}) 的一个 Riemann 和 (Riemann Sum)「リーマン和」

命题
令有界区间 I⊂RI \subset \mathbb R，函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R 有界且可积分，则

lim⁡∥Δ∥→0R(f,Δ,{ξk})=∫If(x)dx\lim_{\|\Delta\| \to 0} R(f, \Delta, \{\xi_k\}) = \int_I f(x) dx

证明（暂时省略）