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# 中值定理

定理 Rolle 定理
设函数 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分
  • f(a)=f(b)f(a) = f(b)

那么存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得 f′(c)=0f'(c) = 0

证明（暂时省略）

定理 Lagrange 中值定理
设函数 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分

那么存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得

f′(c)=f(b)−f(a)b−af'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

证明（暂时省略）

引理
设函数 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分

那么如果在 (a,b)(a, b) 上满足 f′(x)≥0f'(x) \geq 0，则 f(a)≤f(b)f(a) \leq f(b)

证明（暂时省略）

引理
设 ff 在 aa 的邻域上连续，在去心邻域上可微分
那么如果存在 α=lim⁡x→af′(x)\alpha = \displaystyle\lim_{x \to a} f'(x)，则 ff 在点 aa 处可微分，并且 f′(a)=αf'(a) = \alpha

证明（暂时省略）

定理 Cauchy 中值定理
设函数 f,g:[a,b]→Rf, g: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 和 gg 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 和 gg 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分

那么存在 c∈(a,b)c \in (a, b) 使得

f′(c)g′(c)=f(b)−f(a)g(b)−g(a)\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}

证明（暂时省略）

# L'Hospital 法则

由 Cauchy 中值定理出发，得到的最广为人知的定理就是 L'Hospital 法则，这对于不定式的极限求解问题非常有用

实际上该定理是由 Johann Bernoulli 研究得出，但是 L'Hospital 购买了版权，并以自己的名字发表

定理 L'Hospital 法则
设函数 f,g:[a,b]→Rf, g: [a, b] \to \mathbb R 满足以下条件：

  • ff 和 gg 在区间 [a,b][a, b] 上连续
  • ff 和 gg 在区间 (a,b)(a, b) 上可微分
  • lim⁡x→af′(x)g′(x)\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在

那么极限 lim⁡x→af(x)g(x)\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} 也存在，并且

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

证明（暂时省略）
  • 实际上 lim⁡x→af′(x)g′(x)\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 存在，这一要求意味着 aa 的邻域内 g′(x)≠0g'(x) \neq 0

L'Hospital 法则的强大之处在于面对 C∞C^\infty 类函数时，可以无限次重复使用该结论，最终求解出极限值，也就是说

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)=lim⁡x→af′′(x)g′′(x)=⋯=lim⁡x→af(n)(x)g(n)(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \cdots = \lim_{x \to a} \frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}

需要注意的是，L'Hospital 法则的适用范围是非常有限的，只能用于诸如 00\dfrac{0}{0} 或 ∞∞\displaystyle\frac{\infty}{\infty} 这样的不定式的极限求解问题，以下示例给出了一个说明：

示例
显然 lim⁡x→0+1x=+∞\displaystyle\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = +\infty
但是如果我们使用 L'Hospital 法则的话，会得到 lim⁡x→0+01=0\displaystyle\lim_{x \to 0+} \frac{0}{1} = 0，这是一个错误的结论

即使是在使用范围内，滥用 L'Hospital 法则从学习者的角度上来说并不是一件好事
以下示例或许可以作为警钟，让我们不要过度依赖于 L'Hospital 法则，而是专注在极限求解的技巧性上

示例
求解极限值

lim⁡x→∞xx2+1\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

解

直接使用 L'Hospital 法则的话，会得到

lim⁡x→∞1xx2+1=lim⁡x→∞x2+1x\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}

再次使用

lim⁡x→∞xx2+11=lim⁡x→∞xx2+1\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

不难看出这是一个没有尽头的过程。

但是如果我们对分子分母同时除以 xx，就可以得到

lim⁡x→∞11+1x2=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1

□\square