# 紧性 定义 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset XA⊂X 对于 XXX 的子集族 {Uλ∣λ∈Λ}\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \}{Uλ​∣λ∈Λ}，若 A⊂⋃λ∈ΛUλA \subset \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda}A⊂λ∈Λ⋃​Uλ​，则称...

处理无穷个对象往往是难以操作的，我们制定两条规则，来使得部分性质良好的拓扑空间可以被有限个集合控制 命题 距离空间满足第一可数公理 证明 令 (X,d)(X,d)(X,d) 为距离空间，对于任意 x∈Xx \in Xx∈X，若令 B(x):={N(x,1n)∣n∈N}\mathcal B(x) := \{N(x,\frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb N\}B(x):={N(x,n1​)∣n∈N}，则 B(x)\mathcal B(x)B(x) 成为 xxx...

# 分离公理 # 分离公理 分离公理 分离公理 令 (X,O)(X,\mathcal O)(X,O) 为拓扑空间 T1T_1T1​ 第一分离公理：Frechet 公理 T2T_2T2​ 第二分离公理：Hausdorff 公理 ∀x,y∈X, x≠y⟹∃U,V∈O, s.t. x∈U, y∈V, U∩V=∅\forall x,y \in X,\ x \neq y \Longrightarrow \exists U,V \in \mathcal O,\ s.t.\ x \in U,\ y...

微分形简单来说就是在积分 ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy\int f(x)dx,\quad \iint f(x,y)dxdy ∫f(x)dx,∬f(x,y)dxdy 中，形如 f(x)dx,f(x,y)dxdyf(x)dx, f(x,y)dxdy f(x)dx,f(x,y)dxdy 的部分 微分形具有不同的次数，也可以定义在不同维度的空间中。为了方便理解，我们首先从二维空间的 111 次微分形开始导入 # 1 - 形式 令 U⊂R2U \subset \mathbb R^2U⊂R2 为开集 对于定点 p∈U\boldsymbol p...

本章主要内容为以微分形式为对象的计算 以下计算均建立在开集 UUU 上的 kkk 形式： Ωk(U)\Omega^k(U)Ωk(U) 上 对于 α,β∈Ωk(U)\alpha, \beta \in \Omega^k(U)α,β∈Ωk(U)，记 α=∑i1,…,ik=1nfi1⋯ikdxi1∧⋯∧dxikβ=∑j1,…,jk=1ngj1⋯jkdxj1∧⋯∧dxjk\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots...

以下，考虑多维复数域 C\mathbb CC 令 X∈KX \in \mathbb KX∈K 为 Banach 空间（完备的赋范空间） 并且在 XXX 上定义范数为复数模长 ∥⋅∥\|\cdot\|∥⋅∥ ∥z∥=∣z∣2\|z\| = \sqrt{|z|^2} ∥z∥=∣z∣2​ 此处对于范数和 Banach 空间的设定只是为了将来研究泛函时，能更方便推广过去 初次接触次概念无需在意，只需要默认此处讨论复数空间，以及双数线效果和复数绝对值一样即可 级数往往指代的是无穷级数 # 级数 定义 令点列...

# 复平面上的距离拓扑 研究空间结构需要引入拓扑，复数的拓扑结构可以用欧几里得距离自然构造出距离拓扑 首先是距离的定义，对于复数 z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C}z1​,z2​∈C，定义它们之间的距离为 d(z1,z2)=∣z1−z2∣d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2| d(z1​,z2​)=∣z1​−z2​∣ 此时 ddd 满足距离公理 并且映射 J:R2→C,J(x,y)=x+iyJ:\mathbb R^2 \to \mathbb C, J(x,y) = x + iyJ:R2→C,J(x,y)=x+iy 是...

在对函数进行类数列的分析前，我们需要先赋予函数一个量化的标准，也就是范数 令集合 SSS 上的 C\mathbb CC 值函数空间为 F(S)\mathscr F(S)F(S) 在 F(S)\mathscr F(S)F(S) 上定义加法和和标量积为 (f+g)(x):=f(x)+g(x)(f + g)(x) := f(x) + g(x) (f+g)(x):=f(x)+g(x) (αf)(x):=αf(x)(\alpha f)(x) := \alpha f(x) (αf)(x):=αf(x) 此时 F(S)\mathscr F(S)F(S)...

众所周知，满足方程 x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 = 0x2+y2−1=0 的点 (x,y)(x, y)(x,y) 构成一个单位圆 我们期望对于 f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0 形式的方程所表示的点，都能构成这样的光滑曲线 从分析的视角来说，我们需要考察的是： 对于方程所形成的图上的任意一个点，在这个点的某一个邻域下，这个图能不能被表示为一个光滑的函数的图像呢？ 简单来说，就是能不能通过解关于 yyy 的方程 f(x,y)=0f(x, y) = 0f(x,y)=0 来得到一个光滑函数 y=g(x)y = g(x)y=g(x)？ 定理 隐函数定理 令...

# 换元积分法 # 分部积分法 # 有理函数积分 有理函数指的是形如 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x)​ 的函数，其中 P(x),Q(x)P(x), Q(x)P(x),Q(x) 都是实系数多项式 此类函数一定能求出原函数 重点在于部分分式展开 我们要将原分式转为形如 C(x−a)k, Ax+B((x−a)2+b2)m\frac{C}{(x-a)^k},\ \frac{Ax + B}{( (x-a)^2 + b^2 )^m} (x−a)kC​, ((x−a)2+b2)mAx+B​ 的分式之和，其中 k,mk, mk,m...