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实变函数与复变函数，这个区别看起来只是自变量和因变量从实数变成复数，或者说从一维变成二维。 但是复变函数和实变函数的差异太大了，复变函数相比起来过于地完美。 解析刚性：局部得到全局 全纯性：一阶可微等价于光滑，等价于解析，可积分 保角性：局部形状不变 这一类性质在实变函数来看是不可想象的。尤其是 Cauchy 积分定理和积分公式，以及延伸出来的留数定理。留数定理甚至强大到不仅能处理复平面的积分，也可以处理实变函数的广义积分，或者是处理无穷级数等等。 这一切不单单只是从 R\mathbb RR 到 R2\mathbb R^2R2 的变化，需要理解的是究竟...

在该线性代数的笔记中，数域符号 F\mathbb FF 指代实数域 R\mathbb RR 或 复数域 C\mathbb CC 中的其中一个。 # 矩阵 在初等数学中，基本的计算单位是单一数字，也就是实数和复数。很显然一个数字只能蕴含一个信息 在线性代数中，数字这一概念将被推广，我们的基本计算单位将转为矩阵 简单来说，称被括号 [][][] 或 ()()() 包裹的，多个数字按行与列排列形成的二维数组为 矩阵 (Matrix)「矩阵」。 例如 A=(123456),B=[789101112]A = \begin{pmatrix} 1 & 2...

# 内积空间 定义 令 VVV 为域 F\mathbb FF 上的线性空间，称映射 ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb F ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F 为 VVV 上的 内积 (Inner Product)「内積」，当且仅当对任意 a,b,c∈V\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c \in Va,b,c∈V，以及任意 k∈Fk \in...

在有限群论中，Lagrange 定理告诉我们：子群的阶数一定是群阶数的因子。 但是其逆命题不成立：如果 ddd 是 ∣G∣|G|∣G∣ 的因子，群 GGG 未必存在阶数为 ddd 的子群。 最著名的反例是交错群 A4A_4A4​，其阶数为 121212，但它不存在阶数为 666 的子群。 然而，如果这个因子是素数的幂，情况就不同了。Sylow 定理是有限群论中关于子群存在性与数量最强有力的定理，它是分析有限群结构的 “显微镜”。 # p - 群与 Cauchy 定理 在介绍 Sylow 定理之前，先引入两个基础概念。 定义 设 ppp 为素数。如果一个群 GGG 的阶为 pkp^kpk...

# 陪集 以下设 H≤GH \leq GH≤G（HHH 是 GGG 的子群）。 我们考虑一个同余关系。 定义 对于 a,b∈Ga,b \in Ga,b∈G，若 a−1b∈Ha^{-1}b \in Ha−1b∈H 则称 aaa 和 bbb 以 HHH 为基准 左同余 (Left Congruence)「左合同」，记作 a≡b(modH)a \equiv b \pmod Ha≡b(modH) 或 $ a \equiv_H b$ 同样的，若 ab−1∈Hab^{-1} \in...