Home 数学 抽象代数

# 模

在抽象代数中，模是对向量空间概念的直接推广。向量空间的标量乘法定义在一个域上（如 R\mathbb{R} 或 C\mathbb{C}），而模的标量乘法则放宽条件，定义在一个环上
这种域到环的退化，使得模失去了向量空间的许多良好性质（例如基的存在性），但也因此获得了极其丰富的代数结构

定义
令 RR 为一个非零环，MM 为一个加法群。
定义映射

R×M→M,(a,x)↦axR \times M \to M, (a, x) \mapsto ax

若其满足以下条件

  • M1：a∈R,x,y∈Ma \in R, x, y \in M，则 a(x+y)=ax+aya(x+y) = ax + ay
  • M2：a,b∈R,x∈Ma, b \in R, x \in M，则 (a+b)x=ax+bx(a+b)x = ax + bx
  • M3：a,b∈R,x∈Ma, b \in R, x \in M，则 (ab)x=a(bx)(ab)x = a(bx)
  • M4：1R1_R 是 RR 的乘法单位元，x∈Mx \in M，则 1Rx=x1_R x = x

则称 MM 是 RR 上的一个 模 (Module)「加群」，也称作 R−R- 模
如果强调运算方法，应该称这里的定义为 左模，如果是右模，则需要对应将 axax 替换为 xaxa 等

在一般的 R−R- 模中，称 RR 的元素为 标量

示例

  • 在标准的运算定义下，Rn\mathbb R^n 为 R\mathbb R 上的一个模，包括 n=1n = 1
  • 对任意加法群 MM，定义运算 nn 次加法 nxnx，其中 nn 是一个整数，x∈Mx \in M，则 MM 是 Z\mathbb Z 上的一个模

令 MM 为一个 R−R- 模，NN 是 MM 的一个子群，如果对于任意 a∈R,x∈Na \in R, x \in N 都满足 ax∈Nax \in N，则称 NN 是 MM 的一个 子模 (Submodule)「部分加群」，记作 N≤MN \leq M

示例
令 MM 为一个 R−R- 模，x1,x2,⋯ ,xn∈Mx_1, x_2, \cdots, x_n \in M，则

⟨x1,x2,⋯ ,xn⟩:={a1x1+a2x2+⋯+anxn∣a1,a2,⋯ ,an∈R}\langle x_1, x_2, \cdots, x_n \rangle := \{a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n \mid a_1, a_2, \cdots, a_n \in R\}

是 MM 的一个子模，称为由 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_n 生成的子模

# 模的同态

类似于其他代数结构，我们可以考虑商模与模上的同态映射

令 MM 是一个 R−R- 模，NN 是 MM 的一个子模
此时 M/NM/N 是 MM 的一个加法商群，我们可以定义自然的同态映射

π:M→M/N,x↦x‾:=x+N\pi: M \to M/N, x \mapsto \overline x := x + N

对于 a∈R,x∈Ma \in R, x \in M，定义运算

ax‾:=a(x+N):=ax+N=ax‾a \overline x := a(x + N) := ax + N = \overline{ax}

可以验证 M/NM/N 在上述运算下满足模的定义，因此 M/NM/N 是 R−R- 模，称为 MM 关于 NN 的商模

定义
令 RR 是一个非零环，M,NM, N 是 R−R- 模
映射 f:M→Nf: M \to N 是一个加法群下的同态，并且满足

∀a∈R,∀x∈M:f(ax)=af(x){}^\forall a \in R, {}^\forall x \in M: f(ax) = af(x)

则称 ff 是一个 模同态 (Module Homomorphism)「加群準同型」。