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# 上极限与下极限

某些情况下，经典极限 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n 的存在条件过于苛刻。
极限要求序列最终无限逼近单一确定的值，但分析学中存在大量不收敛的振荡数列

为了对所有数列的行为进行分析，可以引入上极限和下极限的概念

任意给出一个实数列 {xn}\{x_n\}，分别定义其靠后的上确界序列 SnS_n 和下确界序列 InI_n：

Sn=sup⁡k≥nxk,In=inf⁡k≥nxkS_n = \sup_{k \ge n} x_k,\quad I_n = \inf_{k \ge n} x_k

随着 nn 的增加，不难看出被剔除的项数会越来越多，这意味着

  • 上确界只能下降或保持不变，因此 {Sn}\{S_n\} 是一个单调递减序列。
  • 下确界只能上升或保持不变，因此 {In}\{I_n\} 是一个单调递增序列。

因此，数列 {Sn}\{S_n\} 和 {In}\{I_n\} 都是单调的，并且由于 In≤SnI_n \leq S_n 对任意 nn 都成立，所以它们都是有界的。
根据单调有界数列的性质，{Sn}\{S_n\} 和 {In}\{I_n\} 都是收敛的，因此可以定义其极限值

  • 称 lim⁡n→∞sup⁡k≥nxk\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} x_k 为数列 {xn}\{x_n\} 的 上极限 (limit superior)「上極限」，记为 lim⁡n→∞‾xn\displaystyle \overline{\lim_{n \to \infty}} x_n 或 lim sup⁡n→∞xn\displaystyle \limsup_{n \to \infty} x_n
  • 称 lim⁡n→∞inf⁡k≥nxk\displaystyle\lim_{n \to \infty} \inf_{k \ge n} x_k 为数列 {xn}\{x_n\} 的 下极限 (limit inferior)「下極限」，记为 lim⁡n→∞‾xn\displaystyle \underline{\lim_{n \to \infty}} x_n 或 lim inf⁡n→∞xn\displaystyle \liminf_{n \to \infty} x_n

对于任意一个数列，即使极限不一定存在，但是上极限和下极限一定存在
这是数列在无穷远处震荡的界限

上下极限同样保有偏序关系

命题
令数列 {xn},{yn}\{x_n\}, \{y_n\}，若对于任意的 n∈Nn \in \mathbb N 都满足 xn≤ynx_n \leq y_n，则

lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾yn,lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾yn\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n \leq \overline{\lim_{n \to \infty}} y_n, \quad \underline{\lim_{n \to \infty}} x_n \leq \underline{\lim_{n \to \infty}} y_n

证明（暂时省略）

上极限一定位于上方

命题
对于任意数列 {xn}\{x_n\}，

lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾xn\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n \leq \overline{\lim_{n \to \infty}} x_n

证明（暂时省略）

若一个数列上下极限一致，则等价于极限存在，且等于该值

命题
对于数列 {xn}\{x_n\}，以下等价

  • lim⁡n→∞xn=ℓ\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = \ell
  • lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞‾xn=ℓ\displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \ell
证明（暂时省略）

上下极限不具有线性性质

命题
对于任意有界数列 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\}，都有

lim⁡n→∞sup⁡(xn+yn)≤lim⁡n→∞sup⁡xn+lim⁡n→∞sup⁡ynlim⁡n→∞inf⁡(xn+yn)≥lim⁡n→∞inf⁡xn+lim⁡n→∞inf⁡yn\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sup (x_n + y_n) &\leq \lim_{n \to \infty} \sup x_n + \lim_{n \to \infty} \sup y_n \\ \lim_{n \to \infty} \inf (x_n + y_n) &\geq \lim_{n \to \infty} \inf x_n + \lim_{n \to \infty} \inf y_n \end{aligned}

证明（暂时省略）

命题
对于任意实数列 {xn}\{x_n\} 和常数 k∈Rk \in \mathbb R
若 k≥0k \geq 0，则

lim⁡n→∞sup⁡(kxn)=k⋅lim⁡n→∞sup⁡xnlim⁡n→∞inf⁡(kxn)=k⋅lim⁡n→∞inf⁡xn\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sup (k x_n) &= k \cdot \lim_{n \to \infty} \sup x_n \\ \lim_{n \to \infty} \inf (k x_n) &= k \cdot \lim_{n \to \infty} \inf x_n \end{aligned}

若 k<0k \lt 0，则互换：

lim⁡n→∞sup⁡(kxn)=k⋅lim⁡n→∞inf⁡xnlim⁡n→∞inf⁡(kxn)=k⋅lim⁡n→∞sup⁡xn\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sup (k x_n) &= k \cdot \lim_{n \to \infty} \inf x_n \\ \lim_{n \to \infty} \inf (k x_n) &= k \cdot \lim_{n \to \infty} \sup x_n \end{aligned}

证明（暂时省略）