自用的本科数学课程学习笔记
重心在于对方法原理的解构与证明流程分析
本笔记中规定

• 子集符号 $\subset$ 表示一般子集关系，等价于 $\subseteq$，而真子集用 $\subsetneq$ 表示
• 使用 ${}^\forall$ 和 ${}^\exists$ 来表示全称量词和存在量词，代替大部分常用的 $\forall$ 和 $\exists$
• 自然数集 $\mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}$ 不包含 $0$
• 使用圆括号表示矩阵，矩阵的转置用 $A^T$ 表示
• 默认所有向量均为列向量格式，并且使用 boldsymbol 加粗下的小写字母表示，规定其成分即使没有声明，也默认用非粗体的下标表示，如 $\boldsymbol a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$
• $\dfrac{d}{ds}f(s)$ 会简写为 $f'(s)$，但 $\dfrac{d}{dt}f(s(t))$ 不会简写为 $f'(s(t))$

# 第一阶段

• 高中数学铺垫

# 集合论 Set Theory

参考资料：

• 山川大亮，論理と集合（講義資料）, TUS, 2024
• 松坂和夫，集合・位相入門，岩波書店，2025
• 藤岡敦，手を動かして学ぶ集合と位相，裳華房，2024

目录

• 1 - 集合
• 2 - 映射
• 3 - 集合族
• 4 - 等价关系
• 5 - 势
• 6 - 偏序关系
• 7 - Zorn 引理

# 线性代数 Linear Algebra

参考资料：

• 木田雅成，線形代数学講義 増補版，培風館，2023
• 齋藤正彦，線形代数入門，東京大学出版会，2023
• 加藤文元，大学教養線形代数，数研出版，2024
• 藤岡敦，手を動かして学ぶ線形代数，裳華房，2023

目录

• 1 - 矩阵
• 2 - 简化阶梯形
• 3 - 线性方程组
• 4 - 行列式
• 5 - Laplace 展开
• 6 - 线性空间
• 7 - 各种常见的子空间
• 8 - 线性映射
• 9 - 线性映射的矩阵表示
• 10 - 内积空间
• 11 - 特征值与对角化
• 12 - 正交矩阵和酉矩阵诱导出的对角化
• 13 - 对角化的应用
• 14 - Jordan 标准型
• 15 - 极小多项式
• 16 - 奇异值分解

# 数学分析 Analysis（重构中）

参考资料：

• 宮島静雄，微分積分学 I/II, 共立出版，2022
• 田中視英子，解析学基礎（講義資料）, TUS, 2024

目录

• 1 - 实数的连续性与数列

• 2 - 函数的连续性

• 3 - 微分

• 均值不等式

• 实数的连续性与上限下限

• 数列

• 函数的连续性

• 函数极限

• 微分

• Taylor 定理

• 积分

• 积分计算方法

• 广义积分

• 多维实数空间的拓扑结构

• 多元函数的偏微分

• 多元函数上的 Taylor 定理

• 极值问题

• Frechet 微分

• 隐函数定理与反函数定理

• 多元函数积分

• 变量代换

• 多元广义积分

• 待审查

# 数理统计 Statistics

参考资料：

• 杉山裕介，数理統計学（講義資料）, TUS, 2025
• 日本統計学会，統計学基礎，東京図書，2023
• 松本裕行，宮原孝夫共著，数理統計入門，学術図書出版社，2024

目录

• 1 - 概率
• 2 - 概率分布
• 3 - 主要的概率分布
• 4 - 多维分布
• 5 - 样本与中心极限定理
• 6 - 抽样分布
• 7 - 推断统计
• 8 - 假设检验
• 9 - 数据分析

# 第二阶段

# 点集拓扑 General Topology

参考资料：

• 大山口菜都美，位相（講義資料）, TUS, 2025
• 松坂和夫，集合・位相入門，岩波書店，2025

目录

• 1 - 拓扑空间
• 2 - 连续映射
• 3 - 开基
• 4 - 构造拓扑
• 5 - 连通性
• 6 - 分离公理
• 7 - 紧性
• 8 - 度量空间

# 抽象代数 Abstract Algebra

参考资料：

• 木田雅成，代数学（講義板書）, TUS, 2025
• 松坂和夫，代数系入門，岩波書店，2022

目录

• 1 - 有理整数
• 2 - 群
• 3 - 正规子群与商群
• 4 - 群同构
• 5 - 置换群
• 6 - 群作用
• 7 - Sylow 定理
• 8 - 整环与域
• 9 - 理想与商环
• 10 - 环同构
• 11 - 分式域
• 12 - 整环上的素元分解
• 13 - 多项式环上的可约性
• 14 - 域上的乘法群

# 复分析 Complex Analysis（留到最后重构）

• 复数

• 复数空间的拓扑结构

• 级数

• 函数项级数

• 复变函数

• 初等函数

• 复变函数积分

• Cauchy 积分定理

• 积分定理的应用

• Laurent 级数

• 留数定理

• Fourier 级数与变换

• 待审查

# 微分几何 Differential Geometry

参考资料

• 梶ヶ谷徹，幾何学基礎（演習資料）, TUS, 2024
• 山川大亮，幾何学（講義資料）, TUS, 2025
• 小池直之，積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学，共立出版，2023
• 落合卓四郎，微分幾何入門，東京大学出版会，2023
• 藤岡敦，手を動かして学ぶ曲線と曲面，裳華房，2023

目录

• 1 - 向量积
• 2 - 梯度散度与旋度
• 3 - 正则曲线
• 4 - 曲率与挠率
• 5 - 线积分
• 6 - 正则曲面
• 7 - 面积分
• 8 - 微分形式
• 9 - 外积与外微分
• 10 - 微分形式下的积分
• 11 - 曲面基本形式
• 12 - 曲面上的曲率
• 13 - 结构方程下的曲率导出
• 14 - Riemannian 度规
• 15 - 测地线
• 16 - Gauss–Bonnet 定理

# 第三阶段

# 常微分方程 Ordinary Differential Equations

参考资料：

• 馬場敬之，常微分方程式キャンパス・ゼミ，マセマ出版社，2024

目录

• 1 - 一阶常微分方程
• 2 - 二阶线性常微分方程

# 特别篇

• LaTeX 字体对照
• LaTeX 符号速查

# 对内容扩张的计划

集合论

• 选择公理的等价定理的证明

线性代数

• 完善奇异值分解
• 最小多项式

数学分析

• Holder 连续性与 Lipschitz 连续性
• Young 不等式以及衍生结论
• 积分技巧性汇总